Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

HUMUSOFT s.r.o. 1 Karel Bittner Podpora výuky Mechatroniky Liberec, 20.června 2006.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "HUMUSOFT s.r.o. 1 Karel Bittner Podpora výuky Mechatroniky Liberec, 20.června 2006."— Transkript prezentace:

1

2 HUMUSOFT s.r.o. 1 Karel Bittner Podpora výuky Mechatroniky Liberec, 20.června 2006

3 HUMUSOFT s.r.o. 2 MATLAB Symbolic Math Toolbox Simulink

4 HUMUSOFT s.r.o. 3 MATLAB Demo – příklady >> wrldtrv >> truss >> makevase

5 HUMUSOFT s.r.o. 4 Symbolic Math Toolbox Začleňuje symbolické výpočty do prostředí MATLABu

6 HUMUSOFT s.r.o. 5 Regulace teploty v domě Simulink Simulace automobilových systémů Regulace vodní hladiny v nádrži

7 HUMUSOFT s.r.o. 6 MATLAB R2006a

8 HUMUSOFT s.r.o. •Založeno v r. 1991, sídlo v Praze •Produkty a služby v oblasti technických výpočtů, řídicí techniky a simulace •MATLAB, Simulink,Blocksety, Toolboxy –inženýrské výpočty, simulace dynamických systémů –The MathWorks, Inc. •COMSOL Multiphysics –Simulace fyzikálních dějů, PDE a FEM analýza –Comsol AB •dSPACE - vývojové systémy –dSPACE GmbH. •WITNESS –interaktivní simulace a optimalizace podnikových procesů –Lanner Group, Ltd. •Vývoj vlastního software & hardware –Virtual Reality Toolbox, Real Time Toolbox –Měřicí karty –Modely pro výuku teorie řízení

9 HUMUSOFT s.r.o. 8 MATLAB R2006a •Co je MATLAB ? –výkonné prostředí pro technické výpočty –je určen pro "běžné" uživatele i pro profesní specialisty –integruje do jednoho celku import a export dat, výpočty, zobrazení výsledků, automatizaci rutinních výpočtů, programovací jazyk a nástroje pro tvorbu uživatelských aplikací –obsahuje hotové matematické a geometrické funkce k okamžitému použití –argumenty funkcí mohou být skalární hodnoty nebo pole hodnot •K čemu lze program využívat ? –rutinní výpočty z příkazové řádky stylem "vypočti a nakresli" –automatizace rutinních výpočtů –programování specifických aplikací –simulace a modelování v různých oblastech lidské činnosti

10 HUMUSOFT s.r.o. 9 MATLAB R2006a •Komunikace s MATLABem –uživatelské prostředí příkazový řádek (komunikace s MATLABem) historie příkazů pracovní prostor

11 HUMUSOFT s.r.o. 10 MATLAB R2006a •Rozáhlá nápověda –index s názvy matematických i grafických funkcí –možnost vyhledávání podle klíčového slova –záložky na často hledané kapitoly, tisk

12 HUMUSOFT s.r.o. 11 Komunikace přes internet –Stránky The MathWorks –Podpora –Diskuse s uživateli, Newsgroup MATLAB R2006a

13 HUMUSOFT s.r.o. 12 MATLAB R2006a •Matematické funkce V MATLABu –základní matematika (trigonometrické, exponeciální, komplexní, zaokrouhlování, zbytky, faktoriál, největší společný dělitel,....) –polynomy (konvoluce a dělení, vlastní čísla, derivace, integrace) –matice a vektory (operace s nimi, speciální matice) –lineární algebra (práce s maticemi, řešení soustav lineárních rovnic, vlastní čísla,...) –interpolace, generování sítí –konverze souřadnicových systémů –nelineární numerické metody (ODE, optimalizace, PDE, integrace) –speciální mat. funkce (Besselovy fce,...) –řídké matice

14 HUMUSOFT s.r.o. 13 MATLAB R2006a •Analýza dat –interpolace, třídění –korelace –konečné diference a integrace –filtrace a konvoluce –Fourierova transformace –základní statistické funkce –časové řady •Import a export dat v MATLABu –funkce pro načítání a export dat, řádkové funkce, dialogová okna –textové a binární soubory –čtení a zápis XLS formátů, Lotus 123

15 HUMUSOFT s.r.o. 14 MATLAB R2006a •Import a export dat v MATLABu (pokračování) –audio a video data (.wav,.avi,.ua), vytváření animací –rastrové obrazy (.png,.jpg,.tif,.pcx,.bmp,.gif,.pbm,.hdf,....) –komunikace po internetu (čtení URL, komprimace dat ZIP, Tar) –elektronická pošta •Grafika v MATLABu –kreslení 2D a 3D grafů –speciální grafy (plochy, sítě, obchodní grafika) –vykreslování rastrových souborů –tisky do souboru, na periferie –práce s grafickými objekty přes jejich vlastnosti (Handle Graphics) –vizualizace 3D grafických objektů (světla, rendering,...) –objemová vizualizace (řezy, izoplochy, vektory rychlosti,...)

16 HUMUSOFT s.r.o. 15 MATLAB R2006a Operátory v MATLABu: (>>help ops) + plus - mínus - mínus / děleno zprava \ děleno zleva * násobeno ^ mocnina Příklad:5.1*( )/(20.1*3.2-45)*pi 5.1*( )\(20.1*3.2-45)*pi

17 HUMUSOFT s.r.o. 16 Logaritmy –přirozený logaritmus log(x) –dekadický logaritmuslog10(x) – e x exp Zaokrouhlování –fix zaokrouhlení směrem k 0 –floorzaokrouhlování směrem k celému číslu vlevo –roundběžné zaokrouhlení Nespojitá matematika –factorialfaktoriál –factorrozložení zadaného čísla –permsvšechny možné permutace zadaného vektoru –gcdnejvětší společný dělitel (Difantické rovnice) MATLAB R2006a

18 HUMUSOFT s.r.o. 17 Polynomy –polyval(p,x) MATLAB R2006a p = [5, -12, 4, -3];koeficienty u mocnin v sestupném pořadí x = -6:1:5;nezávisle proměnné pro výpočet polynomu y = polyval(p,x);výpočet hodnot polynomu [s,pp] = polyfit(x,y,3); Opačná operace - proložení dat polynomem Kořeny polynomu k = roots(p); Násobení polynomu (konvoluce) k = conv(p,s);

19 HUMUSOFT s.r.o. 18 Vektory a matice MATLAB R2006a Příklad řešení lineárních rovnic: 2x -3y +5z = -10 -x +10y - 8z = 1 -x +10y - 8z = 1 18x -14y -2z = 6 Jiná forma zápisu lineárních rovnic: A*X = b kde: >> A=[2 -3 5; ; ]; >> b=[-10; 1; 6]; Řešení: X = A -1 b >> X=A\b X =

20 HUMUSOFT s.r.o. 19 Proměnné v MATLABu –skalární proměnnéa_x = 25.6 –vektoryx = [8.9, 5-3.5i, e-6] –matice, poleA = [ ; ; a_x] MATLAB R2006a Matematické operace při práci s polem +, -, *, /, ^ při práci s polem proměnných./,.*,.^

21 HUMUSOFT s.r.o. 20 MATLAB R2006a Oprace s maticemi +součet(A + B) - rozdíl (A - B) / \dělení matic zprava, zleva(A/B = A*B -1, A\B = A -1 *B) *násobení matic (A * B) ^umocnění matice (A ^2).^ umocnění jednotlivých prvků matice (A.^2).*násobení stejných prvků matice (A.* B)./.\dělení stejných prvků matic zprava, zleva (A./ B) 'transpozice matice (A')

22 HUMUSOFT s.r.o. 21 MATLAB R2006a Indexování matic - lineární index: m A(2,1) A(2) m n A(3:4,2:3) A([8 14; 9 14]) A(:,5) A(21:25) A(1:5,5) A(21:end)

23 HUMUSOFT s.r.o. 22 MATLAB R2006a Práce s maticemi - pokračování: Kopírování matice A do B1, rastr 2, 3: B1= repmat(A, 2, 3) Zjišťování velikosti matice: [m,n] = size(A), n = length(v) Třídění prvků vektoru a matice: [val,index] = sort(A,1) A = magic(4) B = sort(A) Dimenze matice: 1 - výsledky po řádcích 2 - výsledky po sloupcích 2 - výsledky po sloupcích Další funkce:rot90, flipud, fliplr

24 HUMUSOFT s.r.o. 23 Goniometrické funkce –parametry funkcí v radiánech sin, asin, cos, acos, tan, atan, tan2, sec, asec,... –parametry ve stupních sind, cosd, tand, secd,... –argumenty mohou být skalární hodnoty nebo pole (vektor, matice) příklad příklad x sin(x) MATLAB R2006a >> x=0:0.5:2*pi >> y=sin(x)

25 HUMUSOFT s.r.o. 24 MATLAB R2006a Příklady - 2D grafy: Nakreslete průběh funkce: >> x = 0:0.1:4*pi; >> y = sin(x.^2./sqrt(x+1)).*cos(2*x);

26 HUMUSOFT s.r.o. 25 MATLAB R2006a Příklady - 3D grafy: Nakreslete průběh funkce: >> x = -pi:0.1:pi; y = x; >> [X,Y] = meshgrid(x,y); >> Z = (X.^2 + Y.^2).*cos(X.*Y); >> surf (X, Y, Z);

27 HUMUSOFT s.r.o. 26 MATLAB R2006a Interpolace v datech odečet v průběhu 1D grafu Jednorozměrná data:interp1 yi = interp1(x,Y,xi) yi = interp1(Y,xi) yi = interp1(x,Y,xi,metoda) yi = interp1(x,Y,xi,metoda,'extrap') yi = interp1(x,Y,xi,metoda,extrapval) pp = interp1(x,Y,metoda,'pp') metoda: ‘nearest’, ‘linear’, ‘linear’,'spline‘, 'pchip‘, 'cubic‘, ‘v5cubic‘ metoda: ‘nearest’, ‘linear’, ‘linear’, 'spline‘, 'pchip‘, 'cubic‘, ‘v5cubic‘ x = linspace(0,2*pi,50); y = sin(x); xi = [ pi]; yi = interp1(x,y,xi); plot(x,y,xi,yi,’rx’); grid

28 HUMUSOFT s.r.o. 27 MATLAB R2006a Interpolace v datech - pokračování Dvojrozměrná data:interp2 (3D plochy, tabulky) ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI) ZI = interp2(Z,XI,YI) ZI = interp2(Z,nkrat) ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,metoda) 3D plochy [X,Y] = meshgrid(-3:.25:3); Z = peaks(X,Y); [XI,YI] = meshgrid(-3:.125:3); ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI); mesh(X,Y,Z), hold, mesh(XI,YI,ZI+15) hold off axis([ ])

29 HUMUSOFT s.r.o. 28 MATLAB R2006a Import/Export dat v MATLABu –interaktivně text, rastrové soubory, video, zvuk.gif,.cur,.hdf,.ico,.jpg,.png,.tif,.bmp,.pcx,.avi.mat,.snd,.wav.csv,.xls,.wk1,.txt,.dat,.dlm

30 HUMUSOFT s.r.o. 29 Import/Export dat v MATLABu - funkce (pokračování) –textová data Datový formátPříkazVrací MAT - MATLAB workspace load Variables in file. CSV - Comma separated numbers csvread Double array. CSV - Comma separated numbers csvread Double array. DAT - Formatted text importdata Double array. DAT - Formatted text importdata Double array. DLM - Delimited text dlmread Double array. DLM - Delimited text dlmread Double array. TAB - Tab separated text dlmread Double array. TAB - Tab separated text dlmread Double array. –tabulkové procesory (MS Excel, Lotus) Datový formátPříkazVrací XLS - Excel worksheet xlsreadDouble array nebo buňka WK1 - Lotus 123 worksheet wk1readDouble array nebo buňka WK1 - Lotus 123 worksheet wk1readDouble array nebo buňka MATLAB R2006a

31 HUMUSOFT s.r.o. 30 MATLAB R2006a Import/Export dat v MATLABu - funkce (pokračování) –rastrové obrazy FormátPříkazVrací TIFFimread Truecolor, ve škále šedi nebo indexovaný soubor. PNGimread Truecolor, ve škále šedi nebo indexovaný soubor. PNGimread Truecolor, ve škále šedi nebo indexovaný soubor. HDFimread Truecolor or indexovaný soubor. HDFimread Truecolor or indexovaný soubor. BMP imread Truecolor nebo indexovaný soubor. BMP imread Truecolor nebo indexovaný soubor. JPEGimread Truecolor nebo ve škále šedi. JPEGimread Truecolor nebo ve škále šedi. GIFimread Indexed indexovaný soubor. GIFimread Indexed indexovaný soubor. PCXimread Indexed indexovaný soubor. PCXimread Indexed indexovaný soubor. XWDimread Indexed indexovaný soubor. XWDimread Indexed indexovaný soubor. CURimread Indexed indexovaný soubor. CURimread Indexed indexovaný soubor. ICOimread Indexed indexovaný soubor. ICOimread Indexed indexovaný soubor. RASimread Truecolor nebo indexovaný soubor. RASimread Truecolor nebo indexovaný soubor. PBMimread Soubor ve škále šedi. PBMimread Soubor ve škále šedi. PGMimread Soubor ve škále šedi. PGMimread Soubor ve škále šedi. PPMimread Truecolor soubor. PPMimread Truecolor soubor.

32 HUMUSOFT s.r.o. 31 Import/Export dat v MATLABu - funkce (pokračování) –Zvukové soubory FormátPříkazVrací AU - NeXT/Sun sound auread zvuková data a vzork. frekvenci. SND - NeXT/Sun soundauread zvuková data a vzork. frekvenci. SND - NeXT/Sun soundauread zvuková data a vzork. frekvenci. WAV - Microsoft Wave soundwavread zvuková data a vzork. frekvenci. WAV - Microsoft Wave soundwavread zvuková data a vzork. frekvenci. –Animace FormátPříkazVrací AVI - Movie aviread MATLAB movie. •Animace jako sekvence za sebou jdoucích obrázků •Animace jako neustálé mazání a překreslování objektů (přírůstková změna) MATLAB R2006a

33 HUMUSOFT s.r.o. 32 Tvorba animací mov = avifile('example.avi') for k=1:n F = getframe(gca); F = getframe(gca); mov = addframe(mov,F); mov = addframe(mov,F);end mov = close(mov); Čtení.avi souboru a převod na animaci v MATLABu >> mov = aviread('rotor.avi') >> movie(mov) MATLAB R2006a

34 HUMUSOFT s.r.o. 33 Tvorba vlastních aplikací MATLAB R2006a –Vlastní editor –Ladění kódu –optimalizace

35 HUMUSOFT s.r.o. 34 Symbolic Math Toolbox –začleňuje symbolické výpočty do prostředí MATLABu –výpočetní jádro toolboxu je z Maple® –obsahuje kolem 100 funkcí –v MATLABu definuje symbolické objekty (příkaz sym, syms) –pracuje se v příkazovém řádku MATLABu Typy matematických výpočtů –derivace, integrace, limity, Taulorův rozvoj –lineární algebra (determinanty, vlastní čísla, inverze matic,...) –zjednodužení algebraických výrazů –symbolické a numerické řešení algebraických a diferenciálních rovnic –Fourierova, Laplaceova a Z-transformace, inverzní transformace MATLAB R2006a

36 HUMUSOFT s.r.o. 35 Symbolic Math Toolbox (pokračování) –porovnání výpočtu v MATLABu a v Symbolic Math Toolboxu: >> sqrt(2) >> sqrt(sym(2)) ans = ans = ^(1/2) ^(1/2) MATLAB R2006a –zjednodušení výrazu vytvoření symbolických proměnných: >> syms a b c >> v=sym('(a+b)^2/(a^2-b^2)*((a+b)/(a*b-b^2))^(-1)') >> pretty(v)>> simplify(v) >> pretty(v)>> simplify(v) 2ans = 2ans = (a + b) (a b - b )b (a + b) (a b - b )b a -b a -b

37 HUMUSOFT s.r.o. 36 MATLAB R2006a Symbolic Math Toolbox (pokračování) Řešení kvadratické rovnice: >> syms a b c x >> pretty(x) >> x = solve(a*x^2 + b*x + c); [ 2 1/2] nebo [ -b + (b - 4 a c) ] >> x = solve('a*x^2 + b*x + c = 0'); [1/ ] Výsledek: [ a ] x = 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2)) [ ] 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2)) [ 2 1/2] 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2)) [ 2 1/2] [ -b - (b - 4 a c) ] [ -b - (b - 4 a c) ] [1/ ] [1/ ] [ a ] [ a ]

38 HUMUSOFT s.r.o. 37 Derivace funkce: >> x = sym('x') >> f = 1/(5+4*cos(x)) Vykreslení >> ezplot(f) MATLAB R2006a 1. derivace funkce f: >> f1 = diff(f) f1 = 4/(5+4*cos(x))^2*sin(x) Vykreslení >> ezplot(f1) 2. derivace funkce f: f2 = diff(f,2) ezplot(f2)

39 HUMUSOFT s.r.o. 38 Symbolic Math Toolbox (pokračování) Integrace – obecně y = int(f) Abychom dostali zpět původní funkci, musíme integrovat poslední funkci dvakrát: >> g = int(int(f2)) g = -8/(tan(1/2*x)^2+9) >> ezplot(g) MATLAB R2006a

40 HUMUSOFT s.r.o. 39 Symbolic Math Toolbox (pokračování) Determinant matice M: >> M=sym('[a b;x y]')>> det(M) M =ans = [ a, b]a*y-b*x [ x, y] –Inverze matice M:Definice funkce: >> inv(M) ans = [ y/(a*y-b*x), -b/(a*y-b*x)] [ -x/(a*y-b*x), a/(a*y-b*x)] MATLAB R2006a >> syms x>> ezplot(f) >> cit = 3*x^2 + 6*x -1; >> jmen = x^2 + x - 3; >> f = ncit/jmen >> f = (3*x^2+6*x-1)/(x^2+x-3)

41 HUMUSOFT s.r.o. 40 MATLAB R2006a Symbolic Math Toolbox (pokračování) –Vykreslení funkce >> ezplot(f) –Nalezení horizontálních asymptot pomocí limity funkce, kde x  +nekonečno >> limit(f, inf) ans = 3existují 3 asymptoty –Vertikální asymptoty najdeme, položíme-li jmenovatel = 0 >> roots = solve(jmen) roots = [ -1/2+1/2*13^(1/2)] [ -1/2-1/2*13^(1/2)] [ -1/2-1/2*13^(1/2)] >> ezplot(f) >> hold on % nezruší se již nakreslený graf >> % Vykreslení horizontálních asymptot >> plot([-2*pi 2*pi], [3 3],'g') >> % Vykreslení vertikálních asymptot >> plot(double(roots(1))*[1 1], [-5 10],'r') >> plot(double(roots(2))*[1 1], [-5 10],'r') >> title('Horizontal and Vertical Asymptotes') >> hold off

42 HUMUSOFT s.r.o. 41 MATLAB R2006a Symbolic Math Toolbox (pokračování) –Hledání minima a maxima funkce (1.derivace = 0) v následujících krocích –Derivujeme funkci >> f1 = diff(f) f1 = (6*x+6)/(x^2+x-3)-(3*x^2+6*x-1)/(x^2+x-3)^2*(2*x+1) >> pretty(f1) 2 6 x + 6 (3 x + 6 x - 1) (2 x + 1) 6 x + 6 (3 x + 6 x - 1) (2 x + 1) x + x - 3 (x + x - 3) x + x - 3 (x + x - 3) >> pretty(simplify(f1)) 2 3 x + 16 x x + 16 x (x + x - 3) (x + x - 3) –Derivaci položíme = 0 a řešíme souřadnice extrémů na ose x: >> body_x = solve(f1) body_x = -8/3-1/3*13^(1/2) -8/3+1/3*13^(1/2) -8/3+1/3*13^(1/2)

43 HUMUSOFT s.r.o. 42 Symbolic Math Toolbox (pokračování) –Vykreslení funkce s lokálním minimem a maximem >> plot(double(body_x), double(subs(f,body_x)),'ro') >> title('Maximum and Minimum of f') >> text(-5.5,3.2,'Local minimum') >> text(-2.5,2,'Local maximum') >> hold off MATLAB R2006a –Nalezení inflexního bodu – 2. Derivace funkce f = 0 >> f2 = diff(f1); >> inflex_pt = solve(f2); >> double(inflec_pt) >> ans = inflexní bod>> inflec_pt = inflec_pt(1) i i i i

44 HUMUSOFT s.r.o. 43 MATLAB R2006a Symbolic Math Toolbox (pokračování) –Vykreslení grafu s inflexním bodem >> pretty(simplify(inflec_pt)) 1/2 2/3 1/2 1/3 ( ) ( ) ( ) ( ) - 1/ / /2 1/3 1/2 1/3 ( ) ( ) >> ezplot(f, [-9 6]) >> hold on >> plot(double(inflec_pt), double(subs(f,inflec_pt)),'ro') >> title('Inflection Point of f') >> text(-7,2,'Inflection point') >> hold off

45 HUMUSOFT s.r.o. 44 Symbolic Math Toolbox (pokračování) funtool – kalkulátor pro výpočet funkcí –Interaktivní –Současné zobrazení 2 funkcí –Integrace, derivace –Inverzní funkce –Zjednodušení symbolických výrazů –Operace s funkcemi MATLAB R2006a

46 HUMUSOFT s.r.o. 45 Simulink 6.4 •Simulace, modelování a analýza dynamických systémů –lineární a nelineární systémy –systémy spojité, diskrétní a hybridní –systémy mohou být "multirate" –základem jsou funkční schémata s bloky –Simulink obsahuje 15 knihoven s bloky Příklad:

47 HUMUSOFT s.r.o. 46 Simulink 6.4 Příklad 2

48 HUMUSOFT s.r.o. 47 Tepelný model rodinného domu simuluje (sldemo_househeat.mdl) –Model vnějšího prostředí (venkovní vlivy) –Tepelné charakteristiky domu –Charakteristiky vyhřívací soustavy Simulink 6.4

49 HUMUSOFT s.r.o. 48 Převod teploty ze stupňů Fahrenheita na stupňě Celsia: C = 5/9*(F-32) Simulink 6.4 Teplotní model domu:

50 HUMUSOFT s.r.o. 49 Simulace dynamiky tekutiny v nádobách >> sldemo_tank >> sldemo_tank Simulink 6.4

51 HUMUSOFT s.r.o. 50 Použitá literatura, podklady –Nápověda programů MATLAB, Simulink a Symbolic Math Toolbox –Kniha: K. Zaplatílek, B. Doňar, MATLAB pro začátečníky –Skripta: Doc.Ing. F. Dušek, CSc. Ing. D. Honc, Ph.D., MATLAB a Simulink, úvod do používání, Pardubice 2005 Jména použitých demo programů •MATLAB: >> wrldtrv >> truss >> makevase •Simulink: >> vr_octavia >> sldemo_househeat >> sldemo_tank MATLAB R2006a

52 HUMUSOFT s.r.o. 51 •Platformy, HW –Windows 2000 (SP 3 nebo 4), XP(SP 1 nebo 2) •RAM (512) 1024 MB •místo na HDD 460 MB (jen MATLAB a Help) •Pentium III, IV, Xeon, Pentium M, AMD Athlon, XP, MP, AMD Athlon 64 –Windows XP x64 •Intel EM64T, AMD64 –Solaris 10, (8, 9) •SPARC, UltraSPARC •místo na HDD 460 MB (jen MATLAB a Help) •RAM (512) 1024 MB, 64 MB swap –Linux Kernel 2.4.x, Kernel 2.6.x, glibc (glibc6) •Pentium III, IV, AMD Athlon, Athlon XP, Athlon XP, AMD Opteron •RAM (512) 1024 MB, 64 MB swap •místo na HDD 460 MB (jen MATLAB a Help) MATLAB R2006a

53 HUMUSOFT s.r.o. 52 MATLAB R2006a •Platformy, HW - pokračování Macintosh –Panther •Mac OS X , •RAM (512) 1024, swap 64MB •místo na HDD 460 MB (jen MATLAB a Help) –Tiger •Mac OS X 10.4, Linux 64-bit –kernel 2.6.x a glibc (glibc6) •AMD64, AMD Opteron, AMD Athlon 64, Intel EM64T •RAM (256) 512, swap 64MB •místo na HDD 300 MB (jen MATLAB a Help)

54 HUMUSOFT s.r.o. 53 Děkuji za pozornost


Stáhnout ppt "HUMUSOFT s.r.o. 1 Karel Bittner Podpora výuky Mechatroniky Liberec, 20.června 2006."

Podobné prezentace


Reklamy Google