Parabola VY_34_INOVACE Matematika, č.přílohy Autor: Mgr. Eva Hubáčková Použití: odvození a procvičení paraboly v analytické geometrii v rovině Datum vypracování: 7.8.2013 Datum pilotáže:.2013 Anotace: Interaktivní prezentace je určena pedagogům a studentům při výkladu a procvičení učiva o parabole v analytické geometrii na středních školách. Základní typy příkladů jsou řešeny, učitel může některé kroky na interaktivní tabuli zvýraznit. V závěru je samostatné cvičení. Pro kontrolu je uvedeno řešení.

V rovině je dán bod F a přímka q, která jím neprochází V rovině je dán bod F a přímka q, která jím neprochází . Množina všech bodů roviny, které mají stejnou vzdálenost od bodu F a od přímky q, se nazýává parabola. Bod F se nazývá ohnisko, přímka q řídící přímka paraboly. Zvolme přímku q a bod F. Ke konstrukci bodů paraboly využijme množin bodů dané vlastnosti. Sestrojíme rovnoběžku m jako množinu všech bodů, které mají od řídící přímky q danou vzdálenost r. Setrojíme kružnici k , k(F;r) jako množinu všech bodů, které mají od daného bodu vzdálenost r. Jejich průnik je bod paraboly.

Vzniklými body proložíme parabolu. X X´ F V . q P Ke každému bodu X paraboly existuje bod X´, který je osově souměrný podle přímky o, která prochází ohniskem F paraboly a je kolmá k řídící přímce q. Tuto přímku nazveme osou paraboly. Na ose leží jediný bod paraboly, což je střed úsečky EP. Tento bod V nazveme vrchol paraboly.

1) Vhodně zavedeme soustavu souřadnic a odvodíme rovnici paraboly: 2) Co se stane, když parabolu zobrazíme v souměrnosti podle osy x? 𝑦≠ 𝑥 2 2𝑝 , ale 𝑦=− 𝑥 2 2𝑝 , po úpravě 𝒙 𝟐 =−𝟐𝒑𝒚 y= 𝑝 2 X[x;y] F[0; 𝑝 2 ] p F[0;− 𝑝 2 ] p V[0;0] 𝑦=− 𝑝 2 |X;q|=|XF| |y+ 𝑝 2 |= 𝑥 2 + (𝑦− 𝑝 2 ) 2 / 2 (𝑦+ 𝑝 2 ) 2 = 𝑥 2 + (𝑦− 𝑝 2 ) 2 𝑦 2 +𝑦𝑝+ 𝑝 2 4 = 𝑥 2 + 𝑦 2 −𝑦𝑝+ 𝑝 2 4 2𝑦𝑝= 𝑥 2 𝒙 𝟐 =𝟐𝒑𝒚, 𝑝>0

Vymění-li si role souřadnice x a y, dostaneme následující situace: 𝒚 𝟐 =𝟐𝒑𝒙, 𝑝>0 𝒚 𝟐 =−𝟐𝒑𝒙, 𝑝>0 𝑥=− 𝑝 2 𝑥= 𝑝 2 p p

Využijme na závěr posunutí, v němž se počátek soustavy souřadnic [0;0] (vrchol paraboly) zobrazí na bod [m;n]. Pak pro p>0 nastanou tyto čtyři situace: 𝒙−𝒎 𝟐 =−𝟐𝒑 𝒚−𝒏 𝒙−𝒎 𝟐 =𝟐𝒑 𝒚−𝒏 𝒚−𝒎 𝟐 =𝟐𝒑 𝒙−𝒏 𝒚−𝒎 𝟐 =𝟐𝒑 𝒙−𝒏

(𝒚−𝒏) 𝟐 =𝟐𝒑(𝒙−𝒎), kde 𝑝 2 = |V;q|, Příklad 1: Napište rovnici paraboly, která má vrchol V[2;-5] a řídící přímku x = - 3 Načrtneme obrázek. Z něj je patrné, že rovnice, kterou budeme hledat je (𝒚−𝒏) 𝟐 =𝟐𝒑(𝒙−𝒎), kde 𝑝 2 = |V;q|, m = 2, n = - 5, 𝒑 𝟐 = 5. Číslo p se tedy rovná 10. Hledaná rovnice je (𝒚−𝟐) 𝟐 =𝟐𝟎(𝒙+𝟓), q V F Samostatné cvičení 1: Napište rovnici paraboly, která má ohnisko 𝑭 𝟑;−𝟏 a řídící přímku y = - 3 |V;q|=|VF|= 𝑝 2

Příklad 2: Úpravou obecné rovnice paraboly 𝒙 𝟐 +𝟒𝒙+𝟐𝒚+𝟐=𝟎 na vrcholový tvar rovnice určete souřadnice vrcholu, ohniska a rovnici řídící přímky. Řešení: 𝑥 2 +4𝑥=−2𝑦−2 𝑥+2 2 − 2 2 =−2𝑦−2 𝑥+2 2 =−2𝑦+2 𝑥+2 2 =−2∙ 𝑦−1 𝑉 −2;1 ,𝐹 −2; 1 2 , 𝑝:𝑦= 3 2 Samostatné cvičení 2: Řešte příklad 2 pro parabolu 𝒚 𝟐 −𝟑𝒙−𝟐𝒚+𝟕=𝟎

Příklad 3: Napište rovnici paraboly, znáte-li vrchol V[-4;-2]a víte-li, že prochází bodem K[-1;2] a osa paraboly je rovnoběžná s osou x. Načrtneme si polohu zadaných bodů a hlavní osu. Z obrázku je patrné, že hledáme rovnici (𝒚−𝒏) 𝟐 =𝟐𝒑(𝒙−𝒎), 𝑝>0, 𝑘𝑑𝑒 𝑚=−4, 𝑛=−2. Dostaneme vztah (𝒚+𝟐) 𝟐 =𝟐𝒑 𝒙+𝟒 . Bod K[-1;2] leží na parabole, tzn. Že jeho souřadnice můžeme dosadit za [x;y] dané rovnice. Řešíme rovnici (𝟐+𝟐) 𝟐 =𝟐𝒑 −𝟏+𝟒 16=6p /:3 2p = 16 3 Hledaná rovnice je (𝒚+𝟐) 𝟐 = 𝟏𝟔 𝟑 𝒙+𝟒 .

Samostatné cvičení 3: Napište rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s některou z os souřadnic, vrchol 𝐕 𝟏;−𝟒 , a zároveň platí, že na ose x vytíná úsečku délky 7 j. Návod: Zobrazte obě možnosti řešení, pro každou možnost. Uveďte možný předpis a využijte úvahy bod leží na parabole.

Příklad 4: Napište rovnici paraboly, která prochází danými body K[-5;3], L[1;-3], M[-9;-13] a osa je rovnoběžná s osou y. Pro tento typ úlohy je jednodušší dosazovat do obecné rovnice paraboly ve tvaru: 𝑥 2 +𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0 𝐾∈𝑃… −5 2 +𝐴∙ −5 +𝐵∙3+𝐶=0 𝐿∈𝑃… 1 2 +𝐴∙1+𝐵∙ −3 +𝐶=0 𝑀∈𝑃… −9 2 +𝐴∙ −9 +𝐵∙ −13 +𝐶=0 Návod: Z první rovnice vyjádřete C, dosaďte ho do 2. a 3. rovnice. Výsledek: 𝑥 2 +6𝑥+2𝑦−1=0…… 𝑥+3 2 =−2∙ 𝑦−5

Výsledky samostatných cvičení: 𝒚+𝟒 𝟐 = 𝟖 𝟑 ∙ 𝒙−𝟏

Zdroje informací Učebnice Matematika pro gymnázia - Analytická geometrie, nakladatelství Prometheus, Jednota českých matematiků a fyziků. Sbírka úloh Matematika pro gymnázia – Analytická geometrie, nakladatelství Prometheus, Jednota českých matematiků a fyziků Sbírka Matematika – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na VŠ, autorka Jindra Petáková