Matematické modely ve finanční sféře 4.-5. cvičení, 4., 11., 18. 11.2008 Lukáš Teklý lukas.tekly@centrum.cz

Ocenění dluhopisů Druhy dluhopisů – viz předníáška Ocenění dluhopisu

Součtový vzorec pro ocenění dluhopisu Příklad: P = 1.000.000,- c = 5 % y = 10 % n = 5 let FV = ?

Ocenění dluhopisů Odpovídající výnos, zbytková doba splatnosti SPP

AÚV

Durace Vyjadřuje o kolik procent se zvýší cena dluhopisu, jestliže se výnosy sníží o 1 % Příklad 1: FV = 1.000.000 Kč n = 5 let c = 0 % y = 5 % Δy = 1% D = ? Příklad 2: FV = 1.000.000 Kč n = 5 let c = 0 % y = 5 % Jak se změní cena, když se zvýšila úroková sazba o 1% a D=5?

Durace bezkuponového dluhopisu se rovná době jeho splatnosti. Durace - pravidla Durace bezkuponového dluhopisu se rovná době jeho splatnosti.

RIZIKO KAPITÁLOVÉ ZTRÁTY RIZIKO ZTRÁTY Z REINVESTIC Vliv změny úrokové míry na cenu dluhopisu Investiční horizont Úrokové sazby = cena = kupony jsou reinvestovány při nižší sazbě RIZIKO KAPITÁLOVÉ ZTRÁTY RIZIKO ZTRÁTY Z REINVESTIC Příklad 1: FV = 1.000 Kč n = 5 let c = 0 % y = 4 % Δy = + 1% Investujeme na 3 roky. Investujeme na 7 let. Vliv na úrokovou míru?

Vliv změny úrokové míry na cenu dluhopisu Investiční horizont Příklad 1: FV = 1.000 Kč n = 5 let c = 0 % y = 4 % Δy = +- 1% Investujeme na 3 roky. Investujeme na 7 let. Výsledek: n = 5 IH = 3 IH = 7 y pokles 3% 4,67% 3,71% y růst na 5% 3,34% kapitálová ztráta > výnos z reinvestice 4,28% kapitálová ztráta < výnos z reinvestice

Okamžitá změna hodnoty portfolia - SPEKULACE Sníží-li se výnosy(po nákupu dluhopisů) o 1%, jak se změní okamžitá hodnota portfolia? Příklad – portfolio (A+B): IH = 4 roky A: PVA = 500 Kč n = 1 roky c = 0 % y = 8 % Δy = - 1% FVA = 500x1,08 = 540 CO ZPŮSOBÍ POKLES ÚROKOVÝCH SAZEB S CENOU DLUHOPISU ? B: PVB = 500 Kč n = 7 roky c = 0 % y = 8 % Δy = - 1% FVB = 500x1,087 = 856,9

Okamžitá změna hodnoty portfolia - SPEKULACE Sníží-li se výnosy (po nákupu dluhopisů) o 1%, jak se změní okamžitá hodnota portfolia? Příklad – portfolio (A+B): IH = 4 roky A: PVA = 500 Kč n = 1 roky c = 0 % y = 8 % Δy = - 1% FVA = 500x1,08 = 540 Po změně úrokových sazeb: FVA+B = FVA/1,07 + FVB/1,077 FVA+B = 540/1,07 + 856,9/1,077 = 1038,7 B: PVB = 500 Kč n = 7 roky c = 0 % y = 8 % Δy = - 1% FVB = 500x1,087 = 856,9

Změna hodnoty portfolia k IH - INVESTICE Sníží-li výnosy (se den po nákupu dluhopisů) o 1%, jak se změní hodnota portfolia na konci IH? Příklad – portfolio (A+B): IH = 4 roky A: PVA = 500 Kč n = 1 roky c = 0 % y = 8 % Δy = - 1% FVA = 500x1,08 = 540 FVA+B = 1000x1,084 = 1360 V PŘÍPADĚ, ŽE DRŽÍM DLUHOPISY CELÝ INVESTIČNÍ HORIZONT, JAK SE ZMĚNÍ VÝNOSY OPROTIU PLÁNOVANÝM? B: PVB = 500 Kč n = 7 roky c = 0 % y = 8 % Δy = - 1% FVB = 500x1,087 = 856,9

RIZIKO ZTRÁTY Z REINVESTIC RIZIKO KAPITÁLOVÉ ZTRÁTY Změna hodnoty portfolia k IH - INVESTICE Sníží-li výnosy (se den po nákupu dluhopisů) o 1%, jak se změní hodnota portfolia na konci IH? Příklad – portfolio (A+B): IH = 4 roky A: PVA = 500 Kč n = 1 roky c = 0 % y = 8 % Δy = - 1% FVA = 500x1,08 = 540 FVA+B = 1000x1,084 = 1360 Po změně úrokových sazeb: FVA+B = FVAx1,07(IH-n) + FVB/1,07(n-IH) FVA+B = 540x1,073 + 856,9/1,073 = 1361,0 B: PVB = 500 Kč n = 7 roky c = 0 % y = 8 % Δy = - 1% FVB = 500x1,087 = 856,9 RIZIKO ZTRÁTY Z REINVESTIC RIZIKO KAPITÁLOVÉ ZTRÁTY

Proč vytváříme dluhopisová portfolia? Investiční horizont - Durace Když investiční horizont = durace, potom kapitálová ztráta je pokryta výnosem z reinvestic. V praxi durace jednoho dluhopisu velmi často není = investičnímu horizontu

Vliv změny úrokové míry na portfolio Durace portfolia složeného z dluhopisů je vážený průměr durací jednotlivých dluhopisů, přičemž váhy odpovídají podílu cen jednotlivých dluhopisů na celkové ceně portfolia. D = w1D1 + w2D2 + … + wnDn Příklad: Portfolio P: PV = 1000 n = 4 c = 0 % y = 8 % D = 4 Portfolio Q (A+B): A: PVA = 500 n = 1 roky c = 0 % y = 8 % D = 1x0,5 + 7x0,5 = 0,5 + 3,5 = 4 B: PVB = 500 n = 7 let c = 0 % y = 8 % INVESTICE DO JAKÉHO PORTFOLIA JE LEPŠÍ?

Porovnání portfolií se stejnými duracemi Konvexivita portfolia Dluhopis: CX = n(n+1)/(1+y)2 => n(n+1) Portfolio: CXP = (CX1P1 + CX2P2 + … + CXnPn)/(P1 + P2 + … + Pn) = CX1w1 + CX2w2 + … + CXnwn Příklad: Portfolio P: A: D=1, w=1/3 B: D=3, w=1/3 C: D=5, w=1/3 DP = 3 CXP = ? Portfolio Q: D: D=2, w=3/4 E: D=6, w=1/4 DQ = 3 CXQ = ?

Porovnání portfolií se stejnými duracemi Konvexivita portfolia Dluhopis: CX = n(n+1)/(1+y)2 => n(n+1) Portfolio: CXP = (CX1P1 + CX2P2 + … + CXnPn)/(P1 + P2 + … + Pn) = CX1w1 + CX2w2 + … + CXnwn Příklad: Portfolio P: A: D=1, w=1/3 B: D=3, w=1/3 C: D=5, w=1/3 DP = 1*1/3 + 3*1/3 + 5*1/3 = 3 CXP = 1*2*1/3 + 3*4*1/3 + 5*6*1/3 CXP = 14,6 Portfolio Q: D: D=2, w=3/4 E: D=6, w=1/4 DQ = 3 CXQ = ?

Porovnání portfolií se stejnými duracemi Konvexivita portfolia CXP = 14,6 CXQ = 15

Statická imunizace Zajištění portfolia proti změnám IR Statická imunizace portfolia IH = 3, y = 0,08, DA = 1, DB = 5 Požadovaná DP = 3 – stejná jako IH DP = DA*wA + DB*wB 1 = wA + wB 0,5 A + 0,5 B

Dynamická imunizace portfolia – uzavřený fond Investiční horizont omezený pevně (datem)

Dynamická imunizace portfolia – otevřený fond Investiční horizont se každý rok posouvá (moving target)

Děkuji za pozornost.