Stereometrie Kolmost přímek a rovin Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M3r0115 Mgr. Jakub Němec

Kolmost přímky a roviny Kolmost přímky a roviny je důležitá vlastnost pro hledání vzdálenosti bodu a roviny. Na začátek je důležité si uvědomit, že dvě přímky jsou k sobě kolmé právě tehdy, když je jejich odchylka 90°. Této vlastnosti využijeme k definování kolmosti přímky a roviny: Přímka a rovina jsou k sobě kolmé v případě, že je přímka kolmá ke všem přímkám roviny. Díky definici můžeme uvést také tzv. kritérium kolmosti přímky a roviny: Je–li přímka kolmá ke dvěma různoběžkám roviny, pak je k rovině kolmá.

Přímka p je kolmá k rovině. Protíná rovinu v bodě S, který je zároveň patou kolmice, můžeme najít nekonečně mnoho kolmic, které leží v rovině. Namátkou jsou vybrány např. přímky a, b, c.

Věty o kolmosti přímky a roviny Na základě definice, kritéria kolmosti přímky a roviny a již známých informací z předchozích lekcí můžeme vyslovit dvě věty, které se týkají této problematiky: Daný bod určuje pouze jednu přímku, která je kolmá k dané rovině. Daným bod určuje pouze jednu rovinu, která je kolmá k dané přímce. Díky výše uvedeným znalostem jsme schopni řešit úlohy v praxi.

V krychli ABCDEFGH zjistěte, zda je přímka CE kolmá k rovině BDG.

Naším úkolem je najít dvě různoběžky roviny BDG, které budou kolmé k přímce CE. To je minimální požadavek na kolmost roviny a přímky. Začneme s přímkou BD. Na přímku BD je kolmá přímka AC i AE (rovnoběžka červeně). Tyto dvě kolmice určují rovinu ACE, v níž leží i naše přímka CE. To znamená, že přímka CE musí být kolmá k přímce BD.

Přímka BG je naše druhá přímka (to samé lze provést i s přímkou DG). K přímce BG je kolmá přímka CD (kolmá je také rovnoběžná přímka červenou barvou) a přímka CF. Tyto dvě přímky určují rovinu CDF, v níž leží také přímka CE. To znamená, že přímka CE je kolmá k přímce BG.

V předchozích dvou krocích jsme našli dvě různoběžné přímky roviny BDG, které jsou kolmé k přímce CE. Tím jsme dokázali, že přímka CE je kolmá k rovině BDG.

V krychli ABCDEFGH urči přímku jdoucí vrcholem E, která je kolmá k rovině AFH.

Naším úkolem při hledání přímky, která je kolmá k naší rovině, je najít pomocné roviny, které budou kolmé na libovolné přímky roviny a budou procházet bodem E (přímka a bod jednoznačně určují libovolnou rovinu). Zvolme si např. přímku AH ze zadané roviny. K té jednoduše nalezneme dvě kolmé přímky, z nichž jedna prochází bodem E. Máme nalezenu rovinu.

Obdobně nalezneme kolmou rovinu k přímce AF. Červená přímka je záměrně nepřesně vyznačena, aby nebyla v zákrytu za přímkou AF.

Průsečnice CE nalezených rovin BCE a CDE musí být kolmá k rovině AFH, protože je kolmá ke dvěma různoběžným přímkám roviny AFH.

Nám již známým postupem jsme schopni přesně určit bod, v němž přímka rovinu protíná. U průsečíku po našem nalezení kolmé přímky můžeme směle vyznačit pravý úhel.

Kolmost rovin Vzhledem k tomu, že víme, že rovinu určují dvě přímky a že přímka je kolmá k rovině, pokud v rovině nalezneme dvě různoběžné kolmé přímky, můžeme definovat situaci pro kolmost dvou rovin: Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jedna z nich obsahuje přímku kolmou k druhé rovině.

Jak lze vidět na obrázku, můžeme najít vždy alespoň jednu přímku, která je kolmá k další rovině. Tyto roviny jsou proto navzájem kolmé.

Úkol závěrem 1) V krychli ABCDEFGH dokaž kolmost přímek a) EF a HM, kde bod M je střed hrany AE b) AL a BK, kde body K a L jsou po řadě středy hran EH a CD. 2) V krychli ABCDEFGH dokaž kolmost přímky a roviny: a) FH a ACG b) LM a ACH, kde body L a M jsou po řadě středy hran CD a AE.

Zdroje Literatura: POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.