Derivace –kmity a vlnění Inovace výuky na Gymnáziu Otrokovice formou DUMů CZ.1.07/1.5.00/34.0488 Fyzika, seminář z fyziky Derivace –kmity a vlnění Autor: RNDr.Zdeňka Strouhalová

Derivace funkce Definice derivace funkce Funkce f je definována v určitém okolí bodu x0 . Derivací funkce nazýváme limitu Používané zápisy derivace Derivaci funkce můžeme považovat za funkci. Jestliže určíme její derivaci, je tato derivace druhou derivací původní funkce, označujeme ji f´´(x). 2

Derivace složené funkce Má-li funkce z = g(x) derivaci v bodě x0 a má-li funkce y = f(x) derivaci v bodě z0 = g(x0), Pak složená funkce ( sinx )´= cosx ( sincx )´= c cos cx ( cosx )´= - sinx ( coscx)´= - c sincx

Harmonické kmitání Průmětem rovnoměrného pohybu hmotného bodu po kružnici do kolmé roviny k rovině kružnice je harmonický kmitavý pohyb. Hmotný bod se pohybuje po přímce totožné s osou y. Je-li v čase t = 0 s hmotný bod v rovnovážné poloze , pak okamžitá výchylka y = ym sinωt, kde ym je amplituda kmitavého pohybu, úhlová frekvence ω = 2πf. 27. června 2012

Kinematika kmitavého pohybu Okamžitá výchylka y = ym sinωt Jestliže si uvědomíme, že okamžitá výchylka má pro popis kmitavého pohybu hmotného bodu stejný význam jako dráha, pak velikost okamžité rychlosti lze stanovit jako derivaci okamžité výchylky podle času Okamžitá rychlost v = y´(t) = (ym sinωt )´ = ym ω cosωt = vm cosωt Směr vektoru rychlosti v je shodný se směrem výchylky – viz obrázek Okamžité zrychlení Pro velikost okamžitého zrychlení při přímočarém pohybu platí a = s´´(t) = v´(t) Pro harmonický kmitavý pohyb a = (ym sinωt )´´= (vm cosωt)´ a = -ymω2 sinωt = - am sinωt = - ω2 y Vektor zrychlení a má opačný směr než vektor v.

Fáze kmitavého pohybu y = ym sinωt, φ= ωt je fáze kmitavého pohybu, počáteční fáze v čase t = 0 φ0 =ωt = 0 y = ym sin(ωt +φ0), φ = ωt +φ0 je fáze kmitavého pohybu, počáteční fáze v čase t = 0 φ= φ0 Derivováním vztahu pro okamžitou výchylku určete velikost okamžité rychlost a zrychlení .Dokažte, že i v případě, kdy y = ym sin(ωt +φ0) je zrychlení přímoúměrné výchylce. 1.Určete rychlost a zrychlení v čase 0,1T, je-li y = 5.10-3sin(8πt + 0,25π) 2.Hmotný bod za 1minutu vykoná 240 kmitů s amplitudou výchylky 5 mm. Počáteční fáze je 0,1π.určete vztah pro okamžitou výchylku, rychlost a zrychlení.

Mechanické vlnění Postupná vlnu se šířící v řadě bodů na ose x rychlostí v , jednotlivé body postupně začínají kmitat Zdroj kmitů: y = ym sinωt Bod vzdálený o x začíná kmitat se zpožděním t´ : y = ym sinω (t –t´) Rovnice postupné vlny je funkcí dvou proměnných: času t, polohy kmitajícího budu x Využitím derivací, určete velikost okamžité rychlosti a zrychlení pro kmitání zdroje velikost okamžité rychlosti a zrychlení pro kmitání bodu vzdáleného o zdroje o x ( zvolíme-li určitý bod, pak x považujeme za konstantu) Dokažte, že body vzdálené o vlnovou délku λ = v.T, kmitají se stejnou okamžitou rychlostí

Použité zdroje http://www.gymkren.cz/download/ucebni-texty/fyzika/f22.pdf. [online]. [cit. 2012-03-01]. LEPIL, Oldřich. Fyzika pro gymnázia: Mechanické kmitání a vlnění. Praha: Prometheus, 1994, 135 s. ISBN 80-901-6196-0. 1.března 2013