Diferenciální geometrie křivek

Způsoby zadání rovinné křivky, polární souřadnice Parametrické rovnice Imlicitní rovnice Explicitní rovnice Kartézské souřadnice Polární souřadnice f r M x y M x y

Křivka třídy Cn Množinu kE3 nazýváme křivkou třídy Cn jestliže souřadnice bodů křivky lze vyjádřit zobrazením IR3, t X(t) s vlastnostmi X(t) je spojitá na intervalu I X(t) je prostá X(t) má na intervalu I spojité derivace do n-tého řádu Vektor derivace X´(t) není nulový. Rovinná křivka Prostorová křivka

Cykloida Parametrizace prosté cykloidy úhlem otočení

Transformace parametru Nechť je funkcí X(t) dána křivka k třídy Cn, tI. Na intervalu J nechť je definována funkce t = f(u) s následujícími vlastnostmi f(u) je prostá na J f(u) zobrazuje J na I f(u) má spojité derivace až do n-tého řádu, pak vektorová funkce Y(u)=X(f(u)) vyjadřuje tutéž křivku jako funkce X(t).

Tečna křivky Tečna křivky X(t) v regulárním bodě X(t0): X(t0) X(t) X(t0+h) X(t0) X(t) Př: Tečna grafu funkce y=f(x)v bodě f(x0):

Tečna křivky Pojem tečny je nezávislý na parametrizaci. Tečna křivky X(t) v regulárním bodě X(t0): Pojem tečny je nezávislý na parametrizaci.

Šroubovice

Šroubovice Šroubový pohyb vzniká složením rotace kolem osy o a posunutí ve směru osy o. Šroubovice je dána poloměrem r, parametrem v0 a osou šroubového pohybu o = z .

Šroubovice je křivka konstantního spádu Tečna šroubovice Šroubovice: tečný vektor: půdorys tečného vektoru: Spád šroubovice: Šroubovice je křivka konstantního spádu

Frenetův doprovodný trojhran Tečná rovina křivky – každá rovina, která obsahuje tečnu křivky Normálová rovina křivky – rovina kolmá na tečnu křivky Oskulační rovina křivky – tečná rovina, určená vektory první a druhé derivace. Normála křivky – každá přímka, která je kolmá na tečnu křivky a prochází daným bodem. Hlavní normála – průsečnice oskulační a normálové roviny. Frenetův doprovodný trojhran je tvořen jednotkovými směrovými vektory přímek t, n, b t – tečna n – hlavní normála b – binormála o = (t,n) – oskulační rovina n = (b,n) – normálová rovina

Oskulační rovina šroubovice a plocha tečen šroubovice

Výpočet Frenetova trojhranu Jednotkový vektor tečny Jednotkový vektor binormály Jednotkový vektor hlavní normály X

Inflexní bod Bod X(t0) křivky X(t) se nazývá inflexní bod křivky, jestliže jsou vektory první a druhé derivace lineárně závislé. V inflexním bodě není určen Frenetův doprovodný trojhran.

Délka oblouku křivky X(t) mezi body X(ta) a X(tb) b=X(tn) X(t1) X(t2) X(t3)

Parametrizace délkou oblouku Říkáme, že křivka je parametrizovaná obloukem, když její parametr měří délku křivky. X(t)=X(t(l)), kde t = t(l) je funkce inverzní k oblouku křivky l(t). -1 0 1 2 3 4 2 X(1) X(2) X(3)

Křivost křivky Křivost křivky je mírou vychýlení křivky od tečny.

Geometrický význam křivosti Bod křivky je inflexní právě tehdy, je-li v něm první křivost nulová. Je-li bod V vrchol křivky, pak v něm má funkce první křivosti extrém.

Křivka parametrizovaná délkou oblouku Křivka X(l) je parametrizovaná obloukem právě tehdy, když je v každém bodě vektor X´(l) jednotkový. Je-li křivka parametrizovaná obloukem, pak je vektor X(l) směrový vektor hlavní normály. Velikost vektoru X(l) je křivost k křivky. Jestliže je křivka X(l) parametrizovaná obloukem, pak pro jednotkové vektory Frenetova doprovodného trojhranu platí:

Výpočet křivosti křivky Je-li křivka X(l) parametrizovaná obloukem Je-li křivka X(t) dána obecným parametrem Je-li křivka dána jako graf funkce y = f(x) Př: Vypočítejte funkci křivosti paraboly y = x2

Parametrizace šroubovice délkou křivky

Křivost a hlavní normála šroubovice Šroubovice je křivka konstantní křivosti.

Frenetův doprovodný trojhran šroubovice tečna hlavní normála binormála

Ekvidistanta křivky k Definice konstrukcí: V regulární bodě rovinné křivky k sestrojíme normálu n a na ni naneseme úsečku, jejíž velikost je rovna distanci d. Ekvidistanta křivky k je obálka systému kružnic se středem na křivce k a s poloměrem rovným distanci r=d

Evoluta křivky Obálka normál dané křivky Množina středů oskulačních kružnic Evoluta je množina singulárních bodů ekvidistantních křivek

Oskulační kružnice křivky V bodě T=X(t0) sestrojme hlavní normálu křivky. Na hlavní normále sestrojme bod S, ST =1/k. Kružnici se středem S a poloměrem r =1/k ležící v oskulační rovině křivky nazýváme oskulační kružnice křivky v bodě T. Oskulační kružnice a daná křivka mají v bodě T stejnou tečnu a křivost. Př: Určete oskulační kružnici paraboly 2py = x2 ve vrcholu V[0,0]. r =1/k – poloměr křivosti S – střed křivosti

Oskulační kružnice elipsy

Oskulační kružnice Archimedovy spirály

Oskulační kružnice prosté cykloidy

Dotyk křivek O dvou křivkách řekneme, že mají v bodě P0 dotyk n-tého řádu (n+1 bodový), jestliže parametrizace obloukem X(l), Y(s) existují hodnoty parametru s0, l0, pro které platí: Dotyk nultého řádu Dotyk 1.řádu Dotyk 2. řádu t n O k

Dotyk rovinných křivek zadaných explicitně Jsou-li křivky v rovině dány funkcemi y = f(x), y = g(x) a platí-li pak tyto křivky mají v bodě x0 dotyk n-tého řádu. Křivka y = f(x) a její Taylorův polynom n-tého stupně mají v bodě x0 dotyk alespoň n-tého řádu.

Taylorův rozvoj funkce y=sin(x)

Taylorův rozvoj kružnice

Přechodnice Spojitý průběh křivosti. křivky, používané v silniční i železniční dopravě pro napojení přímého úseku a kružnicového oblouku. s an s an Spojitý průběh křivosti. Kubická parabola – užívala se v ČR v železniční dopravě. Bernoulliova lemniskáta – používala se pro zatáčku menších poloměrů, na železnicích, vodních cestách i tramvajových kolejích. Zatáčka – smerovy oblouk

Klotoida Křivost je přímo úměrná délce oblouku k(l) = a.l

Klotoida

Klotoida a kubická parabola Sestrojíme v bodě X(0) = [0,0] Taylorův rozvoj klotoidy stupně 3.

Blossova přechodnice Délka přechodnice je stejná jako délka vzestupnice – L. Křivost zatáčky k(L) je převrácená hodnota poloměru zatáčky r. Křivost k(l) je kubickou funkcí délky oblouku l. Křivost je přímo úměrná hodnotě převýšení p(l) vzestupnice. Celkové převýšení vzestupnice - pn

Blossova přechodnice Převýšení je přímo úměrné křivosti Blossova přechodnice X(l) bude parametrizovaná obloukem l,tj. Kde t(l) je orientovaný úhel, který svírá tečna Blossovy přechodnice s rovným úsekem.

Blossova přechodnice Funkci t(l) určíme ze vzorce pro křivost křivky parametrizované obloukem. Dosazením t(l) do rovnic pro směrový vektor tečny.

Blossova přechodnice Parametrické rovnice - Blossova přechodnice je parametrizovaná délkou l. Pro odchylku tečny v bodě napojení na zatáčku t(L) platí

Aproximace Blossovy přechodnice polynomem Sestrojíme Taylorův rozvoj v bodě l=0. Po integraci

Základní vytyčovací parametry Pro koncový bod přechodnice l=L. Souřadnice středu kružnicového oblouku Odchylka tečny přechodnice od přímého úseku