Fergusonova kubika a spline křivky

Prezentace na téma: "Fergusonova kubika a spline křivky"— Transkript prezentace:

1 Fergusonova kubika a spline křivky
KMA / GPM F. Ježek

2 Obsah Fergusonova kubika Definice spline křivky
Základní rovnice kubické spline křivky Okrajové podmínky Spline křivky obecného stupně Zobecněný spline

3 Fergusonova kubika Základní segment kubické uniformní spline křivky
Dáno: počáteční a koncový bod uniformní parametrizace tečné vektory v počátečním a koncovém bodě

4 Fergusonova kubika Rovnice Fergusonovy kubiky: Bázové funkce

5 Fergusonova kubika

6 Lagrangeova a spline interpolace
Globální interpolace Stupeň závisí na počtu opěrných bodů Globální „mimika“ Interpolace po částech (spline) Stupeň nezávisí na počtu opěrných bodů Lokální „mimika“ Globální – Lagrangeova interpolace Spline interpolace

7 „Spline stroj“ Spline je „matematický model chování pružného laťkového křivítka“

8 Definice kubické spline křivky
Dáno: Opěrné body interpolační křivky (rovinné nebo prostorové), jejich polohové vektory značíme Parametrizace Okrajové podmínky (jedna z následujících variant) vetknutí volné konce křivka je uzavřená

9 Definice kubické spline křivky
Definice pomocí spline funkce Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcí Složky této vektorové funkce jsou kubickými spline funkcemi parametru a splňují okrajové podmínky

10 Definice kubické spline křivky
Přímá definice Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcí Její složky jsou po částech kubické polynomy Splňuje interpolační podmínky: Splňuje okrajové podmínky: Je třídy , tedy má spojité derivace do druhého řádu

11 Definice kubické spline křivky
Parametrizace spline křivky uniformní(konstantní krok parametru) neuniformní chordálová (krok parametru je úměrný vzdálenosti) obloukem („nerealizovatelný ideál“) – rovnoměrný pohyb …..

12 Základní rovnice kubické spline křivky
Výpočet kubického uniformního splinu: určíme tečné vektory ve všech uzlech, tj. generujeme jednotlivé Fergusonovy oblouky

13 Základní rovnice kubické spline křivky
Základní vztah pro uniformní kubický spline (zajišťuje spojitost do druhé derivace): Vztah je odvozen na základě výpočtu podmínek pro dotyk dvou Fergusonových kubik při spojitosti až do druhé derivace

14 Okrajové podmínky Vetknutí – doplnění dvou triviálních rovnic (je znám vektor první derivace v počátečním a koncovém bodě) Volné konce Uzavřená křivka - cykličnost

15 Spline – příklady (3D) Velký krok parametru
Silně neuniformní parametrizace t=[ ]; Chordálová parametrizace

16 Spline křivka stupně s Definice – po částech polynomy stupně s spojitost třídy s-1, tj. je třídy Určíme počet stupňů volnosti spline křivky stupně s. Koeficienty (n oblouků po (s+1) koeficientu) Podmínky interpolace (dva body na oblouk) Podmínky hladkosti (s-1 podmínek ve vnitřním bodě) Stupeň volnosti

17 Spline křivka stupně s Spline křivka stupně s je jednoznačně určena opěrnými body a s-1 dalšími (okrajovými) podmínkami. Uzavřená spline křivka stupně s je jednoznačně určena opěrnými body. V praxi se používají především spline křivky lichých stupňů. Důvod: symetrie počtu podmínek v krajních bodech segmentu křivky