Elipsa VY_34_INOVACE Matematika, č.přílohy Autor: Mgr. Eva Hubáčková Použití: odvození a procvičení rovnice elipsy Datum vypracování: 14.8.2013 Datum pilotáže:.2013 Anotace: Interaktivní prezentace je určena pedagogům a studentům při výkladu a procvičení rovnice elipsy na středních školách. Základní typy příkladů jsou řešeny, učitel může některé kroky na interaktivní tabuli zvýraznit. V závěru je samostatné cvičení. Pro kontrolu je uvedeno řešení.

Symbolicky |XE|+|XF|= 2a V rovině jsou dány dva body E, F. Množina všech bodů X roviny, pro které se součet vzdáleností od bodů E, F rovná danému číslu 2a většímu než |EF|, se nazývá elipsa. Body E, F se nazývají ohniska elipsy Symbolicky |XE|+|XF|= 2a Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

C 𝑋 1 X B A S 𝑋 2 D 𝑋 3 Z definice elipsy plyne, že s každým bodem X dané elipsy jsou jejími body také body X1, X2, X3, které jsou s bodem X po řadě souměrně sdružené podle přímky EF, podle osy úsečky EF a podle středu úsečky EF. Bod S nazýváme střed elipsy, přímku EF nazýváme hlavní osa elipsy , body A, B, které leží na hlavní ose nazýváme hlavní vrcholy elipsy. Osu úsečky EF nazýváme vedlejší osa elipsy, body C, D, které leží na vedlejší poloose nazýváme vedlejší vrcholy elipsy. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Podle definice elipsy platí, |EX|+|FX|= 2a X=A tedy |EA|+|FA|= 2a b B e A E S F D a Co se stane, když bod X umístíme do bodu A? Podle definice elipsy platí, |EX|+|FX|= 2a X=A tedy |EA|+|FA|= 2a |ES|+|SA|+(|SA|-|SF|) = 2a |ES|=|SF|tedy 2|SA| = 2a |SA|=a Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Zvolíme vhodně soustavu souřadnic a odvodíme rovnici elipsy. C[0;b] X[x;y] a b B[-a;0] E [-e;0] e S[0;0] F[e;0] A[a;0] D[0;-b] |XE|+|XF|=2a (𝑥+𝑒) 2 + 𝑦 2 + (𝑥−𝑒) 2 + 𝑦 2 =2𝑎 / 2 (𝑥+𝑒) 2 + 𝑦 2 +2 (𝑥+𝑒) 2 + 𝑦 2 (𝑥−𝑒) 2 + 𝑦 2 + (𝑥−𝑒) 2 + 𝑦 2 =4 𝑎 2 2 (𝑥+𝑒) 2 + 𝑦 2 (𝑥−𝑒) 2 + 𝑦 2 =4 𝑎 2 −2 𝑦 2 − 𝑥+𝑒 2 − (𝑥−𝑒) 2 2 (𝑥+𝑒) 2 + 𝑦 2 (𝑥−𝑒) 2 + 𝑦 2 =4 𝑎 2 −2 𝑦 2 − 𝑥 2 −2𝑥𝑒− 𝑒 2 − 𝑥 2 +2𝑥𝑒− 𝑒 2 2 (𝑥+𝑒) 2 + 𝑦 2 (𝑥−𝑒) 2 + 𝑦 2 =4 𝑎 2 −2 𝑦 2 − 2𝑥 2 − 2𝑒 2 /:2 (𝑥+𝑒) 2 + 𝑦 2 (𝑥−𝑒) 2 + 𝑦 2 = 2𝑎 2 − (𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑒 2 ) / 2 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

(𝑥+𝑒) 2 + 𝑦 2 (𝑥−𝑒) 2 + 𝑦 2 = 2𝑎 2 − (𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑒 2 ) / 2 (𝑥+𝑒) 2 + 𝑦 2 (𝑥−𝑒) 2 + 𝑦 2 = 2𝑎 2 − (𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑒 2 ) / 2 𝑥 2 +2𝑥𝑒+ 𝑒 2 + 𝑦 2 ∙ 𝑥 2 −2𝑥𝑒+ 𝑒 2 + 𝑦 2 = 4𝑎 4 −4 𝑎 2 (𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑒 2 )+ 𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑒 2 2 ( 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑒 2 ) 2 −4 𝑥 2 𝑒 2 = 4𝑎 4 −4 𝑎 2 (𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑒 2 )+ 𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑒 2 2 −4 𝑥 2 𝑒 2 = 4𝑎 4 −4 𝑎 2 (𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑒 2 ) − 𝑥 2 𝑒 2 = 𝑎 4 − 𝑎 2 (𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑒 2 ) − 𝑥 2 𝑒 2 = 𝑎 4 − 𝑎 2 𝑦 2 − 𝑎 2 𝑥 2 − 𝑎 2 𝑒 2 𝑎 2 𝑥 2 − 𝑥 2 𝑒 2 = − 𝑎 2 𝑦 2 + 𝑎 4 − 𝑎 2 𝑒 2 𝑥 2 ∙ 𝑎 2 − 𝑒 2 =− 𝑎 2 𝑦 2 + 𝑎 2 ∙ 𝑎 2 − 𝑒 2 𝑥 2 𝑏 2 + 𝑦 2 𝑎 2 = 𝑎 2 𝑏 2 /: 𝑎 2 𝑏 2 𝒙 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝒃 𝟐 =𝟏 a b F e E a Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Leží-li hlavní poloosa a na ose x, pak rovnice elipsy je: 𝒙 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝒃 𝟐 =𝟏 Leží-li hlavní poloosa a na ose y, pak rovnice elipsy je: a 𝒙 𝟐 𝒃 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝒂 𝟐 =𝟏 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

𝒙−𝒎 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒚−𝒏 𝟐 𝒃 𝟐 =𝟏 EF ││ x 𝒙−𝒎 𝟐 𝒃 𝟐 + 𝒚−𝒏 𝟐 𝒂 𝟐 =𝟏 EF ││ y Posuneme-li elipsu o vektor (m;n), pak rovnice elipsy je: 𝒙−𝒎 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒚−𝒏 𝟐 𝒃 𝟐 =𝟏 EF ││ x a b e 𝑆 𝑚;𝑛 a a a 𝒙−𝒎 𝟐 𝒃 𝟐 + 𝒚−𝒏 𝟐 𝒂 𝟐 =𝟏 EF ││ y e b 𝑆 𝑚;𝑛 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Hledáme rovnici (𝑥−𝑚) 2 𝑏 2 + (𝑦−𝑛) 2 𝒂 𝟐 =1 Příklad 1 Napište rovnici elipsy, která má ohniska E[-2;-2] , F [-2;6] a hlavní vrchol A [-2;7]. Řešení Hlavní osa EF je rovnoběžná s osou y, druhá mocnina hlavní poloosy (𝑎 2 ) se objeví ve zlomku s neznámou y. Hledáme rovnici (𝑥−𝑚) 2 𝑏 2 + (𝑦−𝑛) 2 𝒂 𝟐 =1 Určíme souřadnice S [m;n] , S je střed úsečky EF, S [-2;2] velikost hlavní poloosy a, a = |SA|= 5 velikost vedlejší poloosy b, kterou určíme ze vztahu 𝑎 2 = 𝑏 2 + 𝑒 2 , kde výstřednost e = |SE|=4. 𝒃= 𝒂 𝟐 − 𝒆 𝟐 = 𝟐𝟓−𝟏𝟔 = 3 Středová rovnice tedy je (𝒙+𝟐) 𝟐 𝟗 + (𝒚−𝟐) 𝟐 𝟐𝟓 =1 A F a e S b E Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Samostatné cvičení 1: Napište rovnici elipsy, znáte-li hlavní vrcholy 𝑨 −𝟒;−𝟏 ,𝑩 𝟑;−𝟏 a vedlejší vrchol 𝑪 − 𝟏 𝟐 ; 𝟑 𝟐 . Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Příklad 2 Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu totožnou s osou x, její střed je v počátku soustavy souřadnic, hlavní poloosa má délku 4 a elipsa prochází bodem M −𝟐 𝟑 ;𝟏 . Řešení Střed S má souřadnice [0;0], a = 4, EF││x budeme tedy hledat rovnici 𝒙 𝟐 𝟏𝟔 + 𝒚 𝟐 𝒃 𝟐 =1 Protože elipsa má procházet bodem M, musí platit rovnice elipsy pro x = −2 3 a y = 1. Řešíme rovnici (−𝟐 𝟑) 𝟐 𝟏𝟔 + 𝟏 𝟐 𝒃 𝟐 =𝟏 12 𝑏 2 + 1 16 =1 /∙16 𝑏 2 3 4 + 1 𝑏 2 = 1 /∙4 𝑏 2 3 𝑏 2 +4=4 𝑏 2 4= 𝑏 2 |b|=2, 𝑏>0, 𝑝𝑎𝑘 𝑏=2 Hledaná rovnice je 𝒙 𝟐 𝟏𝟔 + 𝒚 𝟐 𝟒 =1 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Řešením předcházející úlohy je elipsa. 𝑥 2 16 + 𝑦 2 4 =1 M[−2 3 ;1] Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Samostatné cvičení 2: Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu totožnou s osou y, střed má v počátku soustavy souřadnic, hlavní poloosa má délku 𝟒 𝟐 a elipsa prochází bodem 𝑴 −𝟐 𝟐 ;𝟒 . Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Souřadnice ohnisek jsou E [1- 5 ;2], F [1+ 5 ;2] Příklad 3 Upravte obecnou rovnici na středový tvar, rozhodněte, zda rovnice je rovnicí elipsy. V případě, že se jedná o elipsu, určete souřadnice středu, délku poloos, výstřednost (excentricitu), souřadnice ohnisek. 𝟒 𝒙 𝟐 −𝟖𝒙+𝟗 𝒚 𝟐 −𝟑𝟔𝒚=−𝟒 𝟒∙( 𝒙 𝟐 −𝟐𝒙)+9∙ 𝒚 𝟐 −𝟒𝒚 =−𝟒 𝟒∙ 𝒙−𝟏 𝟐 − 𝟏 𝟐 ∙𝟒+𝟗∙ 𝒙−𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟐 ∙𝟗=−𝟒 𝟒∙ 𝒙−𝟏 𝟐 +𝟗∙ 𝒙−𝟐 𝟐 =−𝟒+ 𝟏 𝟐 ∙𝟒+ 𝟐 𝟐 ∙𝟗 𝟒∙ 𝒙−𝟏 𝟐 +𝟗∙ 𝒙−𝟐 𝟐 =36 /:36 𝒙−𝟏 𝟐 𝟗 + 𝒙−𝟐 𝟐 𝟒 =𝟏 Rovnice je rovnicí elipsy s hlavní osou EF rovnoběžnou s osou x, a = 3, b = 2, S[1;2]. Excentricita e = 9−4 = 5 . Souřadnice ohnisek jsou E [1- 5 ;2], F [1+ 5 ;2] Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Upravte dané rovnice elipsy na středový tvar: a) 𝒙 𝟐 +𝟒 𝒚 𝟐 −𝟔𝒙−𝟖𝒚−𝟑=𝟎 Samostatné cvičení 3: Upravte dané rovnice elipsy na středový tvar: a) 𝒙 𝟐 +𝟒 𝒚 𝟐 −𝟔𝒙−𝟖𝒚−𝟑=𝟎 b) 𝟐𝟓 𝒙 𝟐 +𝟒 𝒚 𝟐 +𝟏𝟎𝟎𝒙=𝟎 c) 𝟗 𝒙 𝟐 +𝟏𝟔 𝒚 𝟐 −𝟓𝟒𝒙−𝟔𝟑=𝟎 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Výsledky samostatných cvičení: Cvičení 3: a) 𝑥−3 2 16 + 𝑦−1 2 4 =1 b) 𝑥+2 2 4 + 𝑦 2 25 =1 c) 𝑥−3 2 16 + 𝑦 2 9 =1 Zakreslete některou elipsu ze cvičení 3 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Zdroje informací Učebnice Matematika pro gymnázia - Analytická geometrie, nakladatelství Prometheus, Jednota českých matematiků a fyziků. Sbírka úloh Matematika pro gymnázia – Analytická geometrie, nakladatelství Prometheus, Jednota českých matematiků a fyziků Sbírka Matematika – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na VŠ, autorka Jindra Petáková