KOMBINATORIKA 2 VARIACE k-té TŘÍDY Z n PRVKŮ S OPAKOVÁNÍM -jsou uspořádané k-tice tvořené z prvků dané n-prvkové množiny, přičemž se kterýkoli prvek Může v k-tici libovolně opakovat. Počet variací s opakováním: Příklad:Kolika způsoby lze zvolit heslo trezoru, může-li být na kterémkoli místě libovolné písmeno abecedy? Řešení:
KOMBINATORIKA 2 KOMBINACE k-té TŘÍDY Z n PRVKŮ BEZ OPAKOVÁNÍ (k-prvkové kombinace z n-prvkové množiny) jsou libovolné k-prvkové podmnožiny dané n-prvkové množiny. Na pořadí prvků v podmno- žině – k-tici –nezáleží, žádný se v ní neopakuje.
KOMBINATORIKA 2 Počet kombinací k-té třídy je proto menší než počet variací k-té třídy z téže množiny: vždy k! Variací lišících se pouze pořadím vybraných prvků představuje tutéž kombinaci. toto číslo se nazývá kombinační číslo (nebo také binomický koeficient a označuje se
KOMBINATORIKA 2 Příklad Kolika způsoby lze vyplnit tiket Sportky pro 1 tah? Řešení: Vybíráme šestici z 49 různých čísel (nezáleží na Pořadí, v němž je zaškrtáváme)
KOMBINATORIKA 2 KOMBINACE k-té TŘÍDY S OPAKOVÁNÍM Z PRVKŮ p DRUHŮ jsou k prvkové množiny vybírané z množiny, kde jsou prvky p různých druhů, přičemž od každého druhu je nejméně k prvků. Počet takových výběrů je :
KOMBINATORIKA 2 Příklad V prodejně mají 3 druhy limonád. Máme koupit 4 lahve limonády . Kolika způsoby můžeme Nákup provést? Řešení:
KOMBINATORIKA 2 VLASTNOSTI KOMBINAČNÍCH ČÍSEL - Kombinační číslo je definováno pro k celé nezáporné a n≥k. Pro každé přirozené číslo n je Pro každá n, k pro něž je definováno kombinační číslo, platí:
KOMBINATORIKA 2 -Pro libovolná celá, nezáporná čísla k,n kde k je Menší než n platí: -Tabulka existujících kombinačních čísel pro n=0,1,2…. se nazývá Pascalův trojúhelník (každé číslo kromě okrajových 1 je součtem čísel vlevo a vpravo nad zvolenou pozicí)
KOMBINATORIKA 2 Binomický koeficient (kombinační číslo) Pro k≤n přirozená