Pavol Nečas Gymnázium L. N. Senica Šk. rok 2008/2009 III.A

Prezentace na téma: "Pavol Nečas Gymnázium L. N. Senica Šk. rok 2008/2009 III.A"— Transkript prezentace:

1 Pavol Nečas Gymnázium L. N. Senica Šk. rok 2008/2009 III.A
Kombinatorika Pavol Nečas Gymnázium L. N. Senica Šk. rok 2008/2009 III.A

2 Obsah Dôkaz matematickou indukciou N – faktoriál Kombinačné čísla
Pascalov trojuholník Binomická veta K-ty člen binomického rozvoja Definičné obory Úvod do kombinatoriky Kombinačné úlohy Variácie Permutácie Kombinácie Variácie s opakovaním Permutácie s opakovaním Kombinácie s opakovaním Pravidlo súčtu Pravidlo súčinu

3 I. Dôkaz mat. indukciou Využívame pre mat. vety, kt. treba dokázať alebo pre prir. čísla od nejakého Dôkaz mat. indukciou pozostáva z 2 krokov: Vetu dokážeme pre prvé prirodzené číslo Indukčný krok Z predpokladu, že veta platí pre n=k dokážeme platnosť vety

4 Príklad

5 II. N-faktoriál Využíva sa pri výpočtoch v kombinatorických úlohách
Definujeme ho ako Vyjadrenie niektorých n!

6 Príklad

7 III. Kombinačné čísla Kombinačné číslo
Majú niekoľko základných vlastností: Pre každé platí: Určitá vlastnosť umožňuje vypočítať kombinačné čísla len za pomoci sčítavania, bez vyčísľovania faktoriálov. Často sa vyskytujú v kombinatorike.

8 Príklad

9 IV. Pascalov trojuholník
Je zostavený z kombinačných čísel. V tejto schéme sa všetky krajné čísla rovnajú 1 a každé ďalšie číslo sa rovná súčtu dvoch čísel bezprostredne nad ním, využívame 3 základnú vlastnosť a to: Pascalov trojuholník má zvislú os súmernosti. Číslo na k-tom mieste v n-tom riadku má hodnotu

10 V. Binomická veta Kombinačné čísla majú ešte množstvo zaujímavých vlastností. Jedna z nich vyplýva z binomickej vety:

11 Príklad

12 VI. K-ty člen bin. rozvoja
Čísla v jednom riadku Pascalovho trojuholníka sú vlastne koeficienty rozvoja pre odpovedajúce n. Binomický rozvoj má sčítancov. Pre k-ty člen binomického rozvoja platí:

13 Príklad

14 VII. Definičné obory Pre n-faktoriál Pre kombinačné čísla
Vyjadruje sa z najmenšieho n-faktoriálu n≥ 0 Pre kombinačné čísla V kombinačnom čísle musí byť n väčšie rovné k n ≥k

15 VIII. Úvod do kombinatoriky
Kombinatorika: Je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá riešením úloh typu: „Koľkými spôsobmi možno vybrať isté objekty? ” „ Koľkými spôsobmi možno usporiadať isté objekty? ” „ Koľkými spôsobmi zoradiť isté objekty? ” Ponúka niekoľko pravidiel na riešenie jednoduchých úloh: Pravidlo súčtu. Pravidlo súčinu. Ak sa vyskytnú zložitejšie, je treba si ich rozdeliť na jednoduché podúlohy.

16 IX. Kombinačné úlohy Delíme na 6 základných typov: Permutácie
Kombinácie Variácie Permutácie s opakovaním Kombinácie s opakovaním Variácie s opakovaním

17 X. Variácie Základný typ kombinačnej úlohy, ktorá rieši úlohy typu:
„Koľkými spôsobmi možno spomedzi n rôznych objektov vybrať k objektov, ak záleží na poradí vyberania?“ „Koľko usporiadaných k-tic možno vytvoriť z n prvkov?“ Každú usporiadanú k-ticu z daných n prvkov nazývame k-prvkovou variáciou z n prvkov. Počet všetkých takýchto variácií označujeme V(k,n) Platí:

18 Príklad

19 XI. Permutácie Základný typ kombinačnej úlohy, ktorá rieši úlohy typu:
„Koľkými spôsobmi možno zoradiť do radu prvky neprázdnej konečnej n-prvkovej množiny? ” Každé jedno zoradenie nazývame permutáciou (poradím) prvkov danej množiny. Permutácie možno reprezentovať usporiadanými n-ticami prvkov danej n-prvkovej množiny. Počet všetkých permutácií n prvkov označujeme P(n). Pre ich počet platí:

20 Príklad

21 XII. Kombinácie Základný typ kombinačnej úlohy, ktorá rieši úlohy typu: „ Koľkými spôsobmi možno spomedzi n rôznych objektov vybrať objektov, ak nezáleží na poradí vyberania? ” „ Koľko k-prvkových množín má n-prvková množina? ” Každý jeden výber k prvkov z daných n-prvkov nazývame k-prvkovou kombináciou z n-prvkov. Keďže nezáleží na poradí vyberania, možno kombinácie chápať ako neusporiadané k-tice, t.j. k-prvkové podmnožiny. Počet k-prvkových kombinácií z n prvkov označujeme Pre ich počet platí:

22 Príklad

23 XIII. Variácie s opakovanám
Základný typ kombinačnej úloh, ktorá rieši úlohy typu: “Koľkými spôsobmi možno z daných n objektov vybrať k objektov, ak záleží na poradí vyberania a pripúšťame, že objekty môžu byť vybraté viackrát?“ Každý taký výber nazývame k-prvkovou variáciou s opakovaním z n prvkov a ich celkový počet označujeme V’(k, n). Platí:

24 Príklad

25 XIV. Permutácie s opakovaním
Základný typ kombinačnej úlohy, ktorá rieši úlohy typu: Majme n1 objektov prvého druhu, n2 objektov druhého druhu, ... atď. ak nk objektov k-teho druhu tak koľkými spôsobmi možno týchto n1 + n nk objektov usporiadať do radu?“ Každé také usporiadanie nazývame permutáciou s opakovaním, ich celkový počet označujeme Počítame ho zo vzorca:

26 Príklad

27 XV. Kombinácie s opakovaním
Základný typ kombinačnej úlohy ktorá rieši úlohy typu: Koľkými spôsobmi môžeme z daných n objektov vybrať k objektov, ak nezáleží na poradí vyberania a pripúšťame, že objekty môžu byť vybraté viackrát?“ Každý z možných výberov nazývame k-prvkovou kombináciou s opakovaním z n prvkov. Ich celkový počet označujeme K’(k, n) Počítame podľa vzorca:

28 Príklad

29 XVI. Pravidlo súčtu Ak je úlohou zistiť počet prvkov nejakej množiny M, môžeme množinu M rozložiť na niekoľko disjunktných podmnožín M = M1  M2  …  Mk a určiť počty prvkov množín Mi. Potom platí: |M| = |M1| + |M2| |Mk|

30 XVII. Pravidlo súčinu Predpokladáme, že máme vybrať dva prvky a, b, pričom prvý vyberáme z konečnej neprázdnej množiny A a druhý z konečnej neprázdnej množiny B. V prípade, že výber prvku b nezávisí od výberu prvku a, je spolu |A|.|B| možností, ako vybrať tieto dva prvky.