ANALÝZA KONSTRUKCÍ 8. přednáška

Stabilita přímých prutů Únosnost osově namáhaného prvku v tlaku a tahu je rozdílná – vliv vzpěru Zanedbání nebo opomenutí vlivu vzpěru vedlo v historii k množství havárií, přestože teoretické řešení publikoval Euler již v 18. století Reálné pruty jsou imperfektní (imperfekce může být velmi malá, řádově 1/500 nebo 1/1000 délky) Výpočet podle teorie 2. řádu – hledání rovnováhy na deformované konstrukci

Ideální prut Vycházíme z diferenciální rovnice ohybové čáry: x z ℓ F Vycházíme z diferenciální rovnice ohybové čáry: Aproximace: Rovnice má netriviální řešení pro Eulerovo kritické břemeno

Hledání kritického břemene přímého prutu je z matematického hlediska problémem vlastních čísel: Řešení tohoto problému je nekonečně mnoho, nás však zajímá nejmenší hodnota Fcrit, při níž dojde ke ztrátě stability konstrukce

Skutečný (imperfektní) prut Počáteční stav w0 – imperfektní tvar, vnitřní síly nulové Pro moment platí Diferenciální rovnice ohybové čáry ve tvaru: x z ℓ F d0 d w0 w Aproximace:

Rovnici přepíšeme ve tvaru Upravíme, protože Nejmenší vlastní číslo Součinitel kritického zatížení

Rozlišujeme imperfekci geometrickou, materiálovou a numerickou Průhyb ideálního prutu se při zatěžování nemění, po dosažení Fcrit skokem zdeformuje nade všechny meze Deformace imperfektního prutu při zatěžování vzrůstá, při dosažení hodnoty Fcrit také nekontrolovatelně vzroste Fcrit d F Fcrit d0 d Rozlišujeme imperfekci geometrickou, materiálovou a numerickou

Vzpěrné délky I složité konstrukce můžeme stabilitně vyšetřovat jako imperfektní prostý nosník – je třeba vyjmout část konstrukce mezi inflexními body ohybové čáry Zavádíme tzv. vzpěrnou délku Lcr F F F F 0,7ℓ Lcr = ℓ 0,5ℓ ℓ 2ℓ

Lineární stabilita Rozšíření hledání kritického břemene na celou konstrukci Výpočet vzpěrných délek jednotlivých prutů v konstrukci a jejich namáhání Kritické zatížení je dáno λ-násobek zadaného referenčního zatížení Různé tvary vybočení téže konstrukce při stejném zatížení - hledáme tvar s nejnižším kritickým břemenem F F ℓ Lcr = 2ℓ Lcr = ℓ Lcr = 0,7ℓ

Zvětšení vnitřních sil a průhybů vlivem stability: Součinitel kritického zatížení λ je funkcí nejen konstrukce, ale i referenčního zatížení F F F Fcrit = λ Fref ℓ Lcr = 0,7ℓ Lcr = 2ℓ Zvětšení vnitřních sil a průhybů vlivem stability: λ < 4(5) - konstrukce je nebezpečně štíhlá 4(5) < λ < 10 - uplatnění stabilitního zvětšení λ > 10 - konstrukce není náchylná ke ztrátě stability „stabilitní zvětšení“

Výpočet součinitele kritického zatížení Vycházíme z rovnováhy na elementu deformovaného prutu: N N Q w ℓ Q N N Příčné síly Q závisí na osové síle N. Protože N = λ Nref,, je i velikost Q funkcí součinitele λ. Tyto doplňkové příčné síly se přičtou do matice tuhosti prutu K.

Matice geometrické tuhosti KG (matice počátečních napětí Ks) Matice tuhosti prutu v ohybu K Rovnici rovnováhy potom píšeme ve tvaru: Tato soustava s nulovou pravou stranou má netriviální řešení pouze pokud je singulární, tedy když je její determinant roven nule: Tento výraz je polynom proměnné λ, jeho nejmenší kořen je součinitel kritického zatížení. Reálně se řeší iterativně jako zobecněný problém vlastních čísel

Řešení odezvy konstrukcí pomocí teorie 2. řádu Řešíme soustavu rovnic ve tvaru Tato soustava není lineární, protože KG = KG(N) a N = N(r), tedy matice soustavy je funkcí řešení. Soustavu musíme řešit iterativně. Vyjdeme z tvaru Iterace: Postup výpočtu: 1) 2) 3) 4) Konvergenční kritérium Zpět na začátek

Děkuji za pozornost a těším se s vámi na shledanou za týden.