Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice CZECH SALES ACADEMY Trutnov – střední odborná škola s.r.o. EU PENÍZE ŠKOLÁM CZ.1.07/1.5.00/34.0011 VY_32_INOVACE_04_12 Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice Zpracovala: RNDr. Lucie Cabicarová Datum: 7. březen 2013 Vzdělávací oblast: Všeobecně vzdělávací předměty Předmět: Matematika, Seminář z matematiky Ročníky: 1., 2. a 4. ročník – denní forma vzdělávání 3. a 5. ročník – dálková forma vzdělávání VY_32_INOVACE_04_12

Materiál obsahuje přehled základních pojmů a metod řešení úloh: ANOTACE Materiál obsahuje přehled základních pojmů a metod řešení úloh: Kvadratická funkce, její předpis, graf a vlastnosti Kvadratické rovnice Rozklad kvadratického trojčlenu Kvadratické nerovnice Soustava kvadratické a lineární rovnice Každý způsob výpočtu je doplněn vzorovým příkladem včetně výpočtu. VY_32_INOVACE_04_12

KVADRATICKÁ FUNKCE předpis … y = ax2 + bx + c graf … parabola D(f) … R (pokud není stanoveno jinak) a  0 … vrchol paraboly je minimum a  0 … vrchol paraboly je maximum VY_32_INOVACE_04_12

GRAF KVADRATICKÉ FUNKCE Př. 1: Určete souřadnice vrcholu grafu kvadratické funkce f: y = x2 – x – 6. Určete průsečíky funkce s osou x a osou y. V− 𝑏 2𝑎 ;𝑐 − 𝑏 2 4𝑎  a = 1 b = – 1 c = – 6 V 1 2 ;− 25 4  Py : y = 0 – 0 – 6 = – 6 Py0; – 6 Px : 0 = x2 – x – 6 Řešení kvadratické rovnice! Px1– 2; 0 a Px2 3; 0 Řeš. VY_32_INOVACE_04_12

KVADRATICKÁ ROVNICE D = b2 – 4ac x1,2 = −𝑏 ± 𝐷 2𝑎 ax2 + bx + c = 0 Řešení přes diskriminant: D = b2 – 4ac x1,2 = −𝑏 ± 𝐷 2𝑎 Př. 2: x2 – x – 6 = 0 D = (–1)2 – 4 . 1 . (– 6) = = 1 + 24 = 25 x1,2 = 1 ±5 2 x1 = 3 x2 = – 2 P = – 2; 3 ZK VY_32_INOVACE_04_12

zkouška L – 2 = (– 2)2 – (– 2) – 6 = 4 + 2 – 6 = 0 = P– 2 x2 – x – 6 = 0 L – 2 = (– 2)2 – (– 2) – 6 = 4 + 2 – 6 = 0 = P– 2 L3 = 32 – 3 – 6 = 9 – 3 – 6 = 0 = P3 VY_32_INOVACE_04_12

VZTAH MEZI KOEFICIENTY A KOŘENY KVADRATICKÉ ROVNICE Viètovy vzorce: x2 + px + q = 0  – p = x1 + x2 q = x1 . x2 Př. 3: x2 – x – 6 = 0 x1 + x2 = 1 x1 . x2 = – 6 Možnosti násobení: – 6 a 1, 6 a – 1; 2 a – 3; – 2 a 3 x1 = 3 x2 = – 2 P = – 2; 3 VY_32_INOVACE_04_12

ROZKLAD KVADRATICKÉHO TROJČLENU Pokud x1 a x2 jsou kořeny rovnice x2 + px + q = 0, pak kvadratický trojčlen x2 + px + q můžeme rozložit na součin (x – x1)(x – x2). Z našeho předešlého příkladu: x2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2) VY_32_INOVACE_04_12

ROVNICE S LOMENÝM VÝRAZEM Př. 4: Řešte rovnici: 𝑥 𝑥 −1 = 2 𝑥 2 −1 + 18 5𝑥+5 P: x  1; –1 𝑥 𝑥−1 = 2 (𝑥 −1)(𝑥+1) + 18 5(𝑥+1) / . 5(x2 – 1) 5x(x + 1) = 5.2 + 18(x – 1) D = 169 – 4.5.8 = 9 5x2 + 5x = 10 + 18x – 18 x1,2 = 13 ±3 10 5x2 – 13x + 8 = 0 x1 = 1,6 x2 = 1 ZK VY_32_INOVACE_04_12

zkouška P = 1,6 Podmínky  x  1 L1,6 = 1,6 1,6 −1 = 1,6 0,6 = 16 6 = 8 3 P1,6 = 2 2,56 −1 + 18 8+5 = 2 1,56 + 18 13 = 200 156 + 18 13 = = 50 39 + 18 13 = 50+54 39 = 104 39 = 8 3 L = P P = 1,6 VY_32_INOVACE_04_12

MOŽNOSTI ŘEŠENÍ KVADRATICKÉ ROVNICE Počet řešení určuje hodnota diskriminantu: - D  0  rovnice má dvě řešení - D = 0  rovnice má jedno řešení - D  0  rovnice nemá řešení VY_32_INOVACE_04_12

KVADRATICKÁ NEROVNICE Kvadratickou nerovnici nejprve upravíme na součinový tvar. (Můžeme si pomoci i výpočtem rovnice přes diskriminant.) Např. 2x2 + 4x – 6  0  2(x – 1)(x + 3)  0 Další postup: Stejný jako v případě nerovnice v podílovém tvaru (viz lineární rovnice) – určíme nulové body, stanovíme intervaly, sestavíme tabulku a ze znamének určíme, kdy má nerovnice řešení. VY_32_INOVACE_04_12

ÚPRAVY KVADRATICKÉ NEROVNICE 𝑥(𝑥 − 7) 10  –1 / . 10 x2 – 7x  – 10 x2 – 7x + 10  0 x1 = 2 x2 = 5 (x – 2)(x – 5)  0 (-  ; 2 2; 5 5; ) x – 2 – + x – 5 součin P = (– ; 2  5; ) VY_32_INOVACE_04_12

MOŽNOSTI ŘEŠENÍ KVADRATICKÉ NEROVNICE Počet řešení určuje hodnota diskriminantu: D  0  řešíme přes nulové body a tabulku D  0  řešíme náčrtem grafu – řešením jsou buď všechna čísla, pro která nerovnice existuje, nebo nerovnice řešení nemá VY_32_INOVACE_04_12

SOUSTAVA KVADRATICKÉ A LINEÁRNÍ ROVNICE Metoda dosazovací - z lineární rovnice vyjádříme jednu neznámou a dosadíme za ni do rovnice kvadratické – získáme kvadratickou rovnici o jedné neznámé, tu vyřešíme a dosadíme výsledek zpět do vyjádření – tím získáme druhou neznámou Řešení = uspořádané dvojice neznámých VY_32_INOVACE_04_12

ÚPRAVA SOUSTAVY ROVNIC Př. 6: Řešte soustavu rovnic: x2 + y2 – 2x + y – 5 = 0 x – 2y – 1 = 0 x = 2y + 1  (2y + 1)2 + y2 – 2(2y + 1) + y – 5 = 0 4y2 + 4y + 1 + y2 – 4y – 2 + y – 5 = 0 5y2 + y – 6 = 0 D = 1 – 4.5.(– 6) = 1 + 120 = 121 y1,2 = −1 ±11 2.5 y1 = 1  x1 = 2.1 + 1 = 3 y2 = – 1,2  x2 = 2.(– 1,2) + 1 = – 1,4 ZK VY_32_INOVACE_04_12

zkouška P = 3; 1; – 1,4; – 1,2 x2 + y2 – 2x + y – 5 = 0 L3;1 = 9 + 1 – 6 + 1 – 5 = 0 = P3;1 L–1,4;–1,2 = 1,96 + 1,44 + 2,8 – 1,2 – 5 = = 6,2 – 6,2 = 0 = P–1,4;–1,2 P = 3; 1; – 1,4; – 1,2 VY_32_INOVACE_04_12

Zdroje: Polák, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 8. vyd. Praha: Prometheus, 2003. 608 s. ISBN 80-7196-267-8 Materiál je určen pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. cabicarova@sosptu.cz VY_32_INOVACE_04_12