STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA A STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ NERATOVICE Školní 664, Neratovice, tel.: , IČO: , IZO: Ředitelství školy: Spojovací 632, Neratovice tel.: , fax , Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Název projektu: Moderní škola 21. století Zařazení materiálu: Šablona:IV/2 Stupeň a typ vzdělávání: střední odborné Vzdělávací oblast: všeobecné matematické vzdělávání Vzdělávací obor: veřejnosprávní činnost Vyučovací předmět: matematika Tematický okruh: kvadratické rovnice Sada:2Číslo DUM:17 Ověření materiálu ve výuce: Datum ověření: Ročník: VS2 Ověřující učitel: Mgr. Květa Holečková

Název listu: Soustava kvadratických rovnic o dvou neznámých Jméno autora: Mgr. Květa Holečková Anotace: Materiály jsou určeny pro výuku matematického vzdělávání 4letého oboru veřejnosprávní činnost (humanitní studijní obor). Jsou vytvořeny v PowerPointu. Jde o řešené příklady vhodné pro výklad, opakování či individuální studium žáků s IVP. Klíčová slova: Kvadratická a lineární rovnice, dosazovací metoda. Klíčové kompetence: Porozumět způsobu řešení a zdůvodnit jej, vyhodnotit a ověřit správnost zvoleného postupu a odhadnout výsledky. Přesahy a vazby: ZPV, EKO Organizace (čas, velikost skupiny, prostorová organizace): 1 vyučovací hodina, třída, učebna vybavená projekční technikou Cílová skupina: 2. ročník Použitá literatura, zdroje: RNDr. Jaroslav Klodner: Matematika pro obchodní akademie, I. díl. Obchodní akademie Svitavy, Velikost: 984 kB

Definice Rovnice tvaru ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0, kde a, b, c, d, e, f jsou reálná čísla a x, y neznámé, přičemž alespoň jedno z čísel a, b, c je různé od nuly, se nazývá kvadratická rovnice o dvou neznámých.

Řešením kvadratické rovnice o dvou neznámých je každá dvojice čísel [x, y], která této rovnici vyhovuje. Zpravidla postupujeme tak, že z lineární rovnice vyjádříme jednu neznámou a dosadíme ji do rovnice kvadratické. Tím dostaneme jednu rovnici o jedné neznámé, kterou již dokážeme řešit. Druhou neznámou pak vypočítáme dosazením do rovnice lineární.

Příklad 1 Řešte soustavu rovnic: x 2 - 2y 2 - 2x - 3y = 1 x + y = 3

Z druhé rovnice vyjádříme y a dostaneme soustavu: y = 3 - x x 2 - 2y 2 - 2x - 3y = 1 Výraz y = 3 - x dosadíme do druhé rovnice: x 2 - 2(3 - x) 2 - 2x - 3(3 - x) = 1

Po úpravě dostaneme rovnici x = 0. Výslednou kvadratickou rovnici řešit umíme, například rozkladem: (x - 5)(x - 2) = 0

Kořeny tedy jsou x 1 = 5 a x 2 = 2 Dosazením do rovnice y = 3 - x dostaneme y 1 = -2 a y 2 = 1 Řešením jsou uspořádané dvojice [5, -2] a [2, 1]

Příklad 2 Řešte soustavu rovnic: x 2 - 3x - y + 2 = 0 3x - y - 7 = 0

Z druhé rovnice vyjádříme y = 3x - 7 a dosadíme do rovnice první. Po úpravě dostaneme kvadratickou rovnici x 2 - 6x + 9 = 0, která má dvojnásobný kořen x = 3. Dosazením do rovnice y = 3x - 7 dostaneme y = 2 Soustava má jediné řešení [3, 2]

Příklad 3 Řešte soustavu rovnic: x 2 + y 2 - 6x - 4y - 3 = 0 x + y + 2 = 0

Z druhé rovnice vyjádříme y dosadíme do rovnice první. Dostaneme soustavu: y = -x - 2 x 2 + (-x - 2) 2 - 6x - 4(-x - 2) - 3 = 0 Po úpravě dostaneme rovnici 2x 2 + 2x + 9 = 0

Diskriminant D = -68 < 0, a protože kvadratická rovnice nemá řešení v R, nemá řešení ani daná soustava.