Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. 7.přednáška Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála.

Literatura: Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy technické praxe. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 2001 Doležal, M. - Poláček, J. - Tůma, M.: Sbírka řešených příkladů z DG a KG, díl 5. - Rotační a šroubové plochy. Ostrava, VŠB – TU 1995. Elektronické studijní materiály

Pojmy: matematická (analytická) plocha empirická (grafická) plocha, algebraické plochy transcendentní plochy, přímkové plochy rozvinutelné plochy nerozvinutelné (zborcené) plochy, cyklické plochy, translační plochy, rotační plochy šroubové plochy

Vytvoření ploch Plocha vznikne např. spojitým pohybem křivky, která není trajektorií tohoto pohybu. Z tohoto pohledu je tedy plocha jednoparametrickou soustavou křivek. Každá z tvořících křivek plochy je jednoparametrickou soustavou bodů. Plochu tedy můžeme považovat za dvouparametrickou soustavu bodů v prostoru.

Dělení ploch Podle výtvarných zákonů: matematické (analytické) : algebraické (rovnicí je polynom o proměnných x, y, z) transcendentní (nelze popsat polynomem, ale jinak) 2. empirické (grafické) – topografické plochy

podle tvořících křivek: přímkové plochy (tvořící křivka je přímka): rozvinutelné – v každém bodě tvořící přímky je stále stejná tečná rovina (válec, kužel, plocha tečen prostorových křivek - např. šroubový torzus). Zjednodušeně řečeno: jejich přesný model lze vyrobit z listu papíru. nerozvinutelné (zborcené) - v každém bodě tvořící přímky je jiná tečná rovina. 2. cyklické plochy (tvořící křivka je kružnice)

podle druhu pohybu: translační (vznikají posunutím řídící křivky) rotační (rotací řídící křivky) šroubové (šroubováním řídící křivky)

Druhy rovnic matematických ploch: parametrické:x = x(u,v), y = y(u,v), z =z(u,v), kde u a v jsou parametry. Pro v = konst. se při spojité změně parametru u vytvoří u-křivka, při u = konst. vznikne v-křivka. explicitní: z = f(x,y) implicitní: F(x,y,z) = 0

Tečná rovina a normála plochy Definice: Tečny všech křivek plochy v jejím regulárním bodě T leží v jedné rovině – tečné rovině . Tečna plochy je každá přímka tečné roviny  procházející bodem dotyku T. Vlastní tečná rovina v nevlastním bodě dotyku je asymptotická rovina. Normála plochy je kolmice tečné roviny v bodě dotyku T. Normální rovina je každá rovina obsahující normálu plochy (její řez plochou je normální řez).

Příklad V bodě T plochy  sestrojte její tečnou rovinu a normálu.

Zobrazení ploch Průmětem plochy je množina průmětů všech jejích bodů. Mohou nastat tyto případy: průmětem plochy je celá průmětna. průmětem plochy je část průmětny (skutečný obrys plochy, jeho průmětem je zdánlivý obrys plochy).

Šroubové plochy

Pojmy: helikoid (=šroubová plocha), závit, hrdelní šroubovice, rovníková šroubovice hraniční šroubovice, vývrtková plocha, schodová plocha

Vytvoření, rozdělení a základní vlastnosti šroubové plochy Šroubová plocha (helikoid) vznikne šroubovým pohybem tvořící křivky k, která je různá od trajektorie šroubového pohybu. Osa šroubové plochy je osa zvoleného šroubového pohybu; podle orientace šroubového pohybu je plocha pravo- či levotočivá. Pokud tvořící křivka protíná osu, pak je plocha uzavřená, v opačném případě otevřená.

Na šroubové ploše existují dvě význačné soustavy křivek: šroubované polohy tvořící křivky k, šroubovice, které při šroubování vytvoří jednotlivé body tvořící křivky k (mají stejné v a v0 , ale různý poloměr nosného válce).

Tečná rovina šroubové plochy Každým bodem T na šroubové ploše prochází po jedné křivce z každé soustavy (šroubovaná křivka a šroubovice konkrétního bodu), tečny k těmto křivkám určují tečnou rovinu plochy v bodě T.

Základní pojmy Meridián je řez šroubové plochy rovinou ρ procházející osou. Všechny meridiány jsou shodné křivky, hlavní meridián leží v rovině rovnoběžné s průmětnou, polomeridián je část meridiánu ležící v jedné polorovině vymezené osou. Každý polomeridián lze považovat za tvořící křivku; skládá se z nekonečně mnoha shodných částí posunutých o výšku závitu v. Za tvořící křivku můžeme také považovat normální řez (tj.řez rovinou kolmou k ose). Další pojmy – hrdelní, rovníková a hraniční šroubovice – jsou analogické s pojmy na rotačních plochách.

Přímkové šroubové plochy Přímkové šroubové plochy vznikají šroubováním přímky. Podle vzájemné polohy osy šroubového pohybu a tvořící přímky dělíme tyto plochy na: uzavřené (řídící přímka p protíná osu šr. pohybu o), otevřené (řídící přímka neprotíná osu šr. pohybu, mají hrdelní šroubovici), pravoúhlé (přímé – p je kolmá na o), kosoúhlé (šikmé = kosoúhlé = klinogonální).

Poznámka: V případě otevřené kosoúhlé šroubové plochy by tvořící přímka mohla být tečnou hrdelní šroubovice, pak by vzniklá plocha byla rozvinutelná. Všechny ostatní přímkové šroubové plochy jsou zborcené(nerozvinutelné).

Příklad Zobrazte část levotočivé kosoúhlé uzavřené přímkové šroubové plochy (vývrtkové plochy), kterou vytvoří úsečka AB . V libovolném bodě T plochy sestrojte tečnou rovinu. [ A (5;6;0), B (0;6;2,5), v = 12, B  o]

Příklad V Mongeově promítání zobrazte jeden závit schodové plochy.

Příklad Zobrazte pravotočivou vývrtkovou plochu vytvořenou úsečkou AB. [A (4,5,0), B (-4,5,v/2), v0 = 1,5 ]

Příklad Zobrazte pravotočivou kosoúhlou přímkovou šroubovou plochu, která vznikne šroubovým pohybem úsečky AB. V bodě T plochy sestrojte její tečnou rovinu. [ S ( 0; 5; 0), v0 = 1,5 ,A ( -4; 5; 0 ), B (0;3;3 ),T ( 1,5; ?; v/3 )]

Příklad V kolmé axonometrii zobrazte pravoúhlou uzavřenou přímkovou šroubovou plochu (jinak též schodovou plochu nebo přímý šroubový konoid).

Cyklické šroubové plochy Vznikají šroubovým pohybem kružnice nebo její části. V praxi se používají tyto tři typy: plocha vinutého sloupku (normální cyklická plocha) – rovina řídící kružnice je kolmá na osu šroubového pohybu. osová cyklická šroubová plocha (plocha sv.Jiljí) - rovina řídící kružnice obsahuje osu šroubového pohybu. Archimedova serpentina – plochu lze vytvořit šroubovým pohybem kulové plochy o středu S a poloměru r. Archimedova serpentina je obalovou plochou těchto kulových ploch.

Osová cyklická šroubová plocha – plocha sv. Jiljí