Vzájemná poloha dvou přímek Stereometrie Vzájemná poloha dvou přímek VY_32_INOVACE_M3r0103 Mgr. Jakub Němec

Základní vztahy mezi prostorovými útvary Na začátek si musíme připomenout několik pravidel z minulé lekce, které nás budou provázet celou stereometrii: Pokud leží bod na přímce a přímka leží v rovině, poté i bod leží v rovině. Dvěma různými body je jednoznačně určena právě jedna přímka. Pokud leží dva body v rovině, leží v této rovině i přímka, která je těmito body určena. Třemi různými body, které neleží na jedné přímce, je určena právě jedna rovina. Přímkou a bodem, který na ní neleží, je určena právě jedna rovina. Dvěma různoběžnými přímkami je určena právě jedna rovina.

Rovina je také jednoznačně určena dvěma různými rovnoběžnými přímkami. Pokud mají dvě různé roviny společný bod, mají také společnou přímku (říká se jí průsečnice – využijeme později), která je tvořena všemi jejich společnými body.

Vzájemná poloha dvou přímek Na začátku problematiky je třeba rozhodnout, zda přímky ležící v prostoru náleží jedné rovině. Pokud leží v jedné rovině, poté existují tři vzájemné polohy dvou přímek (známe z planimetrie): Přímky nemají žádný společný bod – jsou rovnoběžné. Přímky mají jeden společný bod – jsou různoběžné. Přímky mají nekonečně společných bodů (popř. všechny body jsou společné) – jsou totožné. Pokud přímky neleží v jedné rovině, vyplývá z výše uvedených pravidel, že nemůžou mít společné body. V tomto případě nazýváme polohu dvou přímek mimoběžnou.

Příklady rovnoběžných přímek Přímky AB a EF (leží v rovině přední stěny ABF) Přímky AE a CG (leží v úhlopříčné rovině ACG)

Příklady různoběžných přímek Přímky AC a CD (leží v rovině dolní podstavy ABC a mají průsečík v bodě C) Přímky BH a CE (leží v úhlopříčné rovině BCE a mají průsečík v bodě P)

Příklady mimoběžných přímek Přímky AB a CG (zdánlivě vzniká průsečík, ale přímka AB je v přední stěně a přímka CG je v zadní stěně) Přímky EF a BH (podobný případ, opět zdánlivý průsečík, který však není možný najít)

Postup určování vzájemné polohy dvou přímek Ne všechny polohy přímek jsou však tak zřejmé jako u předchozích příkladů. Nyní si ukážeme několik úloh, u kterých nelze využít vrcholů krychle (praktické provedení – rýsování rovin, bude náplní dalších lekcí) Principy, které byly předvedeny v předchozích snímcích lze uplatnit na jakýchkoliv hranolech a jehlanech.

Přímky AB a KL, kde K, L jsou po řadě středy hran BC a CD, mají průsečík P mimo stěnu krychle, ale je zřetelné, že obě přímky leží v rovině dolní podstavy, takže jsou přímky různoběžné. Přímky AK a HL, kde K, L jsou po řadě středy stran BF a FG, mají průsečík P také mimo krychli, leží na průsečnici rovin horní podstavy a přední stěny.

Úkol závěrem Mějme krychli ABCDEFGH a přímku BC. Určete všechny rovnoběžné, různoběžné a mimoběžné přímky (určené vrcholy dané krychle) vůči přímce BC. Mějme pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Najdi v něm přímky (určené vrcholy jehlanu), které jsou a) rovnoběžné, b) různoběžné, c) mimoběžné.

Zdroje Literatura: POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.