Matematika II. KIG / 1MAT2 Přednáška 08 Katedra informatiky a geoinformatiky Fakulta životního prostředí Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Matematika II. KIG / 1MAT2 Přednáška 08 Integrace racionálních funkcí – 1. část jiri.cihlar@ujep.cz

O čem budeme hovořit: Ryze lomené a neryze lomené racionální funkce Rozklad ryze lomené racionální funkce na parciální zlomky Integrace parciálních zlomků – 1.část

Ryze lomené a neryze lomené racionální funkce

Racionální funkce (ryze a neryze lomené) Definice Nechť jsou dány dva polynomy: Jejich podíl budeme nazývat racionální funkcí: Racionální funkce se nazývá: ryze lomená právě tehdy, platí-li neryze lomená právě tehdy, platí-li

Vyjádření neryze lomené racionální funkce Analogie: Každý nepravý zlomek můžeme vyjádřit jako součet přirozeného čísla a pravého zlomku: Každou neryze lomenou racionální funkci můžeme vyjádřit jako součet polynomu a ryze lomené racionální funkce.

Příklad Je-li stupeň polynomu v čitateli větší nebo roven stupni polynomu ve jmenovateli, vydělíme je. Podílem je opět polynom (se zbytkem). Nakonec napíšeme získané vyjádření.

Rozklad ryze lomené racionální funkce na parciální zlomky

Co to jsou parciální zlomky? Definice Parciálními zlomky nazýváme tyto funkce: , speciálně: , speciálně: Velká i malá písmena označují reálná čísla, exponenty jsou přirozená čísla, kvadratické polynomy mají záporný diskriminant.

Co musíme udělat nejdříve Nalezneme kořeny polynomu ve jmenovateli a vyjádříme jej jako součin kořenových činitelů. Kořenové činitele odpovídající dvěma komplexně sdruženým kořenům vynásobíme a získáme polynomy druhého stupně se záporným diskriminantem. Součiny stejných činitelů zapíšeme ve tvaru mocniny.

Příklad Nechť má polynom ve jmenovateli tvar: Jeho kořeny jsou: reálné číslo 2 (je to dvojnásobný kořen), a dvě komplexně sdružená čísla +i a –i . Vyjádříme jej tedy takto:

Návod na rozklad Každý činitel z rozkladu jmenovatele tvaru vygeneruje těchto r parciálních zlomků: Poznámka: Je-li kořenový činitel v první mocnině, bude generovat pouze jeden parciální zlomek.

Návod na rozklad - pokračování Každý činitel z rozkladu jmenovatele tvaru vygeneruje těchto s parciálních zlomků: Poznámka: Je-li kořenový činitel v první mocnině, bude generovat pouze jeden parciální zlomek.

Příklad Nechť má polynom ve jmenovateli tvar: Pak rozklad racionální funkce na parciální zlomky bude mít tvar:

Složitější příklad Nechť má polynom ve jmenovateli tvar: Jak bude vypadat příslušný rozklad racionální funkce na parciální zlomky? Jak nalezneme neznámé koeficienty A, B, C, atd. ?

Hledání neznámých koeficientů Rovnost vyjadřující rozklad na parciální zlomky upravíme vynásobením polynomem Q(x) na rovnost polynomů a porovnáním jejich koeficientů sestavíme soustavu rovnic. Příklad:

Integrace parciálních zlomků

Jak integrovat parciální zlomek? Integrál z této funkce lze počítat přímo – po vytknutí konstanty vede na logaritmus jmenovatele. Obecný postup:

Jak integrovat parciální zlomek? Integrál z této funkce lze počítat přímo – při vhodné manipulaci s konstantou vede na mocninu jmenovatele. Obecný postup:

Jak integrovat parciální zlomek? Integrál lze vhodnou manipulací s konstantami rozložit na dva integrály, jeden vede na logaritmus a druhý na arctangens. Příklad:

Co je třeba znát a umět? Umět dělit mnohočleny, umět rozložit ryze lomenou racionální funkci na parciální zlomky, umět integrovat parciální zlomky.

Děkuji za pozornost