Hledání racionálních kořenů. f = a n x n + a n-1 x n-1 + ……. + a 1 x + a 0 a i  Z a 0  0 Všechna řešení jsou ve tvaru zlomku, kde ra0ra0 sansan.

Prezentace na téma: "Hledání racionálních kořenů. f = a n x n + a n-1 x n-1 + ……. + a 1 x + a 0 a i  Z a 0  0 Všechna řešení jsou ve tvaru zlomku, kde ra0ra0 sansan."— Transkript prezentace:

1 Hledání racionálních kořenů

2 f = a n x n + a n-1 x n-1 + ……. + a 1 x + a 0 a i  Z a 0  0 Všechna řešení jsou ve tvaru zlomku, kde ra0ra0 sansan

3 f = 2x 3 + 3x 2 + 6x – 4 r  –4  r  {–4, –2, –1, 1, 2, 4} s  2  s  {–2, –1, 1, 2}

4 Vyloučení některých zlomků (r–s)  f(1) (r+s)  f(–1)

5 f = 2x 3 + 3x 2 + 6x – 4 f(1) = 7 f(–1) = –9 (r–s)  7 (r+s)  –9

6 f(1) = 0 nebo f(–1) = 0 1 nebo –1 je kořen polynomu vydělíme kořenovým činitelem (x – 1) nebo (x + 1) tím snížíme stupeň polynomu hledáme racionální kořeny polynomu, který nemá kořen 1 ani –1

7 Kořeny normovaného polynomu f = x 6 – 6x 5 + 9x 4 + 8x 3 – 24x 2 + 16 r  16 s  1 kořeny mohou být pouze celá čísla ±1, ±2, ±4, ±8, ±16

8 f(0) = 0 f = 5x 5 + 2x 4 – 3x 3 = = x 3 (5x 2 + 2x – 3) Hledáme kořen polynomu 5x 2 + 2x – 3, pro který platí a 0  0

9 a i  Z g = x 3 + 3  2 x 2 + 3x – 2 = = (x – c 1 )(x – c 2 )(x – c 3 ) má kořeny c 1, c 2, c 3 2g = 2x 3 + 3x 2 + 6x – 4 = = 2(x – c 1 )(x – c 2 )(x – c 3 ) má kořeny c 1, c 2, c 3

10 Oddělování vícenásobných kořenů

11 Derivace polynomu f f = a n x n + a n-1 x n-1 + ……. + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 f´ = n a n x n-1 + (n–1)a n-1 x n-2 + ……. + 2.a 2 x + a 1 jestliže st f  1 f´ = 0 jestliže st f < 1

12 příklad f = 4x 6 + 2x 5 – x 3 + 5x 2 – 7x + 3 6.4 x 5 + 5.2 x 4 – 3 x 2 + 2.5 x– 7 f ´= 24 x 5 + 10 x 4 – 3 x 2 + 10 x – 7 f ´ =

13 příklad f = 6 nebo f = 0 st f < 1 f´ = 0

14 f je polynom stupně n  1 derivace f´ je polynom stupně n–1

15 c je k-násobný kořen polynomu f k = 1 c je jednoduchý kořen polynomu f c není kořenem polynomu f´ k > 1 c je k-násobný kořen polynomu f c je (k–1)-násobným kořenem polynomu f´

16 NSD(f,f´) f = (x – 2) 3 (x – 1) 2 (x – 5)(x – 4) f´ = (x – 2) 2 (x – 1)(x – c 1 )(x – c 2 )(x – c 3 )(x – c 4 ) NSD(f,f´) = (x – 2) 2 (x – 1) g = f : NSD(f,f´) = (x – 2)(x – 1)(x – 5)(x – 4) polynom g má stejné kořeny jako polynom f, ale každý pouze jednoduchý

17 příklad Pomocí oddělování vícenásobných kořenů nalezněte kořeny polynomu f = x 6 – 6x 4 – 4x 3 + 9x 2 + 12x + 4. f´ = 6x 5 – 24x 3 – 12x 2 + 18x + 12 NSD(f, f ´) = d = x 4 + x 3 – 3x 2 – 5x – 2 g = f : d = x 2 – x – 2