Předmět: Počítačová grafika 1 (PGRF1) Přednáška č Předmět: Počítačová grafika 1 (PGRF1) Přednáška č. 2: Rovinné transformace Fakulta Informatiky a Managementu UHK 2003

Posunutí (Translation)

Posunutí (Translation)

Nákres k posunutí bodu v rovině (Translation)

Rovnice posunutí bodu v rovině o vektor (m,n)

Nákres posunutí souřadného systému

Rovnice transformace souřadného systému Rovnice transformace souřadného systému. (Nový systém má počátek v bodě (m,n))

Inverzní transformace k posunutí bodu v rovině o vektor (m,n) Inverzní transformace k posunutí bodu v rovině o vektor (m,n). Jde o posunutí o vektor (-m,-n)

Otočení (rotation)

Otočení (rotation)

Nákres otočení bodu v rovině okolo počátku souřadného systému v kladném smyslu o úhel α (Counterclockwise rotation)

Otočení bodu v rovině okolo počátku souřadného systému v kladném smyslu o úhel α - odvození

Rovnice otočení bodu v rovině o úhel α

Rovnice otočení souřadného systému o úhel - α

Rovnice otočení souřadného systému o úhel α

Změna měřítka (Scaling)

Změna měřítka (Scaling)

Rovnice změny měřítka (bodové afinity) - Scaling

Inverzní transformace k transformaci změny měřítka

Osová souměrnost (Osou souměrnosti je osa x a osa y).

Osová souměrnost (Osou souměrnosti je osa x a osa y).

Rovnice osové souměrnosti (osou souměrnosti je nejdříve osa x a potom osa y). Transformace jsou inverzní samy k sobě

Identita a středová souměrnost

Identita a středová souměrnost

Rovnice identity (nahoře) a středové souměrnosti (dole) Rovnice identity (nahoře) a středové souměrnosti (dole). Transformace jsou opět inverzní samy k sobě

Zkosení (Shearing)

Zkosení vodorovné 300

Zkosení vodorovné 300

Zkosení svislé 300

Zkosení svislé 300

Rovnice zkosení

Rovnice inverzní transformace k těmto zkosením

Rovnice inverzní transformace k posunutí bodu v rovině v homogenních souřadnicích

Rovnice inverzní transformace k posunutí bodu v rovině v homogenních souřadnicích

Rovnice otočení bodu v rovině v homogenních souřadnicích

Rovnice inverzní transformace k otočení bodu v rovině v homogenních souřadnicích

Změna měřítka (bodová afinita) v homogenních souřadnicích

Rovnice inverzní transformace ke změně měřítka (bodové afinitě) v homogenních souřadnicích

Matice osové souměrnosti: (osami souměrnosti jsou postupně osa x (vlevo) a osa y (vpravo)

Matice identity ( vlevo) a středové souměrnosti (vpravo)

Matice zkosení

Skládání dvou posunutí

Skládání dvou otočení

Skládání afinit

Systém rovinných transformací Všechny afinní transformace v rovině jsou popsány jednotným způsobem pomocí matic Matice trasformací jsou regulární (Věcně neztrácí se dimenze, „nesešlapává se útvar“…) Existují inverzní matice i transformace. (Věcně návrat do výchozí polohy) Skládání transformací odpovídá násobení matic (Věcně jde o postupnou aplikaci transformací) Záleží na pořadí transformací Algebraicky jde o nekomutativní grupu

Podgrupa shodností Vzdálenost libovolné dvojice odpovídajících si bodů je shodná před transformací a po ní. Z probraných transformací jsou shodnostmi posunutí a otočení, osová a středová souměrnost Afinita je shodností ve speciálním případě, kdy koeficienty jsou +1 nebo - 1

Příklad skládání transformací: Rotace v rovině kolem bodu o souřadnicích (m,n) o úhel α Je to složenina (postupná aplikace tří transformací) v tomto pořadí: Posunutí počátku souřadného systému do bodu (m,n) Rotace bodu okolo počátku souřadného systému o úhel α Posunutí počátku souřadného systému o vektor (-m,-n) Tomu odpovídá násobení patřičných matic transformací

Příklad: Souměrnost podle přímky: y=x+1 Složíme ji těchto 5 transformací: (posun o –1, otočení o 450 v záporném smyslu, souměrnost podle osy x, zpětná rotace a zpětná translace). Označme: Pak pro výslednou transformaci T platí:

Příklad: Souměrnost podle přímky: y = a.x+b Označíme –li: a=tg(α), pak pro výslednou transformaci T platí:

Homogenní souřadnice Bod (x,y) je rozšířen na trojici (x,y,1) Transformace bodu (x,y) do homogenních souřadnic se děje přidáním třetí souřadnice 1 Transformace trojice (a,b,c) v homogenních souřadnicích zpět do dvojice (x,y) se děje vydělením rovnice třetí komponenou

Bod (x,y) má nekonečně reprezentací v homogenních souřadnicích Bod (x,y) má nekonečně reprezentací v homogenních souřadnicích. Každá reprezentace (a.x,a.y,a) pro a různé od nuly je dobrou reprezentací. Uvažujeme-li bod (a.x,a.y,a) jako trojici v třírozměrném prostoru, pak mění-li se a od 0 do nekonečna, pohybuje se tento bod po polopřímce od počátku do nekonečna. Směr paprsku je určen souřadnicemi x a y, a souřadnice a určuje vzdálenost od počátku. Tedy bod v dvojrozměrném prostoru odpovídá paprsku v třírozměrném prostoru. Často se nachází bod (x,y,1) ležící v rovině z=1