Vlny

Postupné vlny ? výchylka jiné částice (v místě x) výchylka počátku provazu „libovolná“ funkce času zpoždění částice opakuje stejný pohyb se zpožděním

Postupné vlny „libovolná“ funkce popisuje postupnou vlnu jdoucí rychlostí v ve/proti směru osy x

Příčné a podélné vlny Příčná (transverzální) vlna Polarizace - směr výchylky zde lineárně polarizovaná vlna Existují dvě ortogonální polarizace Podélná (longitudinální) vlna

Postupná rovinná vlna Příčná (transverzální) vlna Polarizace - směr výchylky zde lineárně polarizovaná vlna Existují dvě ortogonální polarizace Podélná (longitudinální) vlna

Vlny v přírodě

Přenos informace?

Sinusové (harmonické) postupné vlny „libovolná“ „libovolná“ harmonická („sinusová“)

Sinusové (harmonické) postupné vlny Všechny body kmitají se stejnou frekvencí a amplitudou. Fáze se mění lineárně s polohou. „libovolná“ „libovolná“ harmonická („sinusová“)

Sinusové (harmonické) postupné vlny - vlnový vektor udává směr šíření vlny fázová rychlost

Proč fázová? u poloha myšleného bodu (ne částice prostředí!), jehož stav (=fáze) se nemění rychlost bodu jehož fáze je konstantní

=> vlnoplocha je rovina Proč fázová? x poloha myšlených bodů, jejichž fáze je konstantní (tyto body tvoří tzv. vlnoplochu) rovnice roviny => vlnoplocha je rovina rychlost postupu vlnoplochy

Pozn. různá vyjádření sinusové postupné vlny komplexní vyjádření - Re si musíme domyslet konvence v HRW

Modelový příklad: Vlny na struně

Vlny na struně přejdeme od „korálků na (nehmotné) struně“ ke struně se spojitě rozloženou hmotností T T T - napětí ve struně x pohybová rovnice: ?

pohybová rovnice: ? 0 pro

Jsou postupné vlny řešením této rovnice? pohybová rovnice: vlnová rovnice Jsou postupné vlny řešením této rovnice? derivujeme složenou funkci Ano, pokud

Vlnová rovnice a postupné vlny (shrnutí) (bezdisperzní) vlnová rovnice Postupná vlna je řešením vlnové rovnice. postupná vlna dvakrát diferencovatelná funkce Pro postupné vlny dále platí rovnice postupných vln

Energie a výkon vlny Aby vytvořil harmonickou vlnu, musí konat práci, tedy dodávat výkon vlně. Energie se šíří prostředím s rychlostí šíření vlny (?) - upřesníme později. Pro harm. oscilátor Přenášený výkon = rychlost šíření energie × energie (na jednotku délky) (důkaz později)

Princip superpozice Důkaz: je lineární lineární kombinace řešení je také řešení: řešení řešení tedy také řešení (stačí dosadit)

Princip superpozice

Odraz na pevném a volném konci Pevný konec pro harmonickou vlnu: odražená vlna je v protifázi s přicházející vlnou. Volný konec pro harmonickou vlnu: odražená vlna je ve fázi s přicházející vlnou. (podrobně později) x

Záleží na fázovém rozdílu Interference vln uvažujme superpozici dvou harmonických vln o stejné amplitudě i vlnové délce, které jsou navzájem fázově posunuty a postupují stejným směrem u dráhový rozdíl v HRW to už známe, jedná se o skládání stejnosměrných harmonických kmitů (případ kdy jsou stejné frekvence i amplitudy) Záleží na fázovém rozdílu

Interference vln uvažujme superpozici dvou harmonických vln o stejné amplitudě i vlnové délce, které jsou navzájem fázově posunuty a postupují stejným směrem u dráhový rozdíl Interference: amplituda výsledné vlny se v závislosti na fázovém rozdílu může měnit z minimální hodnoty do maximální hodnoty vnikne opět harmonická vlna o stejné vlnové délce postupující stejným směrem

Interference vln (plně) konstruktivní interference (plně) destruktivní interference fázový rozdíl: dráhový rozdíl: - lib. celé číslo Interference: amplituda výsledné vlny se v závislosti na fázovém rozdílu může měnit z minimální hodnoty do maximální hodnoty vnikne opět harmonická vlna o stejné vlnové délce postupující stejným směrem

Interference vln (plně) konstruktivní interference (plně) destruktivní interference fázový rozdíl: dráhový rozdíl: - lib. celé číslo

(pozn. konvence v HRW) y

Stojaté vlny uvažujme superpozici dvou harmonických vln o stejné amplitudě i vlnové délce, které postupují navzájem opačným směrem u Není to postupná vlna! pohyb každého bodu prostředí je harmonický amplituda kmitů se mění harmonicky v prostoru

Stojaté vlny uvažujme superpozici dvou harmonických vln o stejné amplitudě i vlnové délce, které postupují navzájem opačným směrem nepohybují se dvojnásobná amplituda Není to postupná vlna! pohyb každého bodu prostředí je harmonický amplituda kmitů se mění harmonicky v prostoru

Stojaté vlny zvolme počátek osy x tak, aby v něm byl uzel uzel kmitna polohy uzlů: - libovolné celé číslo polohy kmiten: - libovolné celé číslo

Jak vytvoříme stojaté vlny? Pomocí odrazu Pevný konec - uzel pro harmonickou vlnu: odražená vlna je v protifázi s přicházející vlnou. Volný konec - kmitna pro harmonickou vlnu: odražená vlna je ve fázi s přicházející vlnou. x

Stojaté vlny konečné struny polohy uzlů: na obou koncích struny musí být uzel

Vlastní kmity (mody), rezonance vlastní frekvence vlastní funkce V každém okamžiku lze popsat tvar struny pomocí superpozice modů. vlastní funkce pro první 3 harmonické frekvence

Vlastní kmity (mody), rezonance (2D) http://en.wikipedia.org/wiki/File:Drum_vibration_mode12.gif

Charakteristická impedance (struna jako nucený oscilátor) y Aby vytvořil vlnu, musí působit silou. Podobně pro každé dvě sousední částice struny. T - napětí ve struně

Charakteristická impedance (struna jako nucený oscilátor) y Aby vytvořil vlnu, musí působit silou. Podobně pro každé dvě sousední částice struny. charakteristická impedance Z = příčná síla / rychlost částice je vlastností struny a napětí, nezávisí na tvaru pulzu

Postupná vlna a přenos energie y Aby vytvořil vlnu, musí konat práci, tedy dodávat výkon vlně. Podobně pro každé dvě sousední částice struny. T - napětí ve struně

Energie (pro strunu) hustota kinetické energie x hustota kinetické energie hustota potenciální energie = práce potřebná ke změně délky / délka = napětí × změna délky / délka změna délky / délka hustota potenciální energie

Energie (obecně pomocí Z a v) hustota kinetické energie hustota potenciální energie (platí pro libovolnou vlnu) pro postupnou vlnu

Postupná vlna a přenos energie y Aby vytvořil vlnu, musí konat práci, tedy dodávat výkon vlně. Podobně pro každé dvě sousední částice struny. harmonická vlna Platí pro bezdisperzní postupné vlny, tj. splňují

Disperze a grupová rychlost

Připomeňme si korálky na struně... T - napětí ve struně

Disperze předpokládané řešení Bezdisperzní vlny - křivka (a) Disperzní závislost (3 příklady) předpokládané řešení Bezdisperzní vlny - křivka (a) př.: ohebná struna, zvukové vlny v plynu, em vlny ve vakuu Vlny s disperzí - křivky (b) nebo (c) př.: „korálky na struně“, tuhá struna, vlny na vodě, em vlny v látkovém prostředí

Pulz (vlnový balík) Princip superpozice: obecný pulz vyjádříme jako superpozici harmonických vln v čase 0 je dáno inverzní Fourierovou transformací funkce (nyní ale proměnná k) rozkládáme prostorovou závislost nebo (snadná substituce v integrálu) v poloze x = 0 to je inverzní Fourierova transformace funkce rozkládáme časovou závislost bez disperze disperze (slabá)

Šíření pulzu Princip superpozice: obecný pulz vyjádříme jako superpozici harmonických vln v čase 0 je dáno inverzní Fourierovou transformací funkce (nyní ale proměnná k) rozkládáme prostorovou závislost nebo (snadná substituce v integrálu) v poloze x = 0 to je inverzní Fourierova transformace funkce rozkládáme časovou závislost V disperzním systému se každá harmonická vlna šíří jinou fázovou rychlostí. Dojde tedy k postupnému rozplývání pulzu při jeho postupu.

Disperzní prostředí délky x (lineární systém) Šíření pulzu vstupující pulz - známe vystupující pulz ? Disperzní prostředí délky x (lineární systém) (srv. Jak najít odezvu na libovolný signál?)

Šíření pulzu vstupující pulz - známe vystupující pulz - malé rychle se měnící člen, který se pohybuje fázovou rychlostí pomalu se měnící obálka, která se pohybuje grupovou rychlostí

Disperze, grupová rychlost Frequency dispersion in groups of gravity waves on the surface of deep water. The red dot moves with the phase velocity, and the green dots propagate with the group velocity. In this deep-water case, the phase velocity is twice the group velocity. The red dot overtakes two green dots when moving from the left to the right of the figure. http://en.wikipedia.org/wiki/Group_velocity Obálka („amplituda“) a tedy i energie se šíří grupovou rychlostí rychle se měnící člen, který se pohybuje fázovou rychlostí pomalu se měnící obálka, která se pohybuje grupovou rychlostí

Disperze, grupová rychlost Disperzní závislost (3 příklady) předpokládané řešení

Vlny na rozhraní

Vlny na rozhraní u x rozhraní x = 0 obvykle stejné jako Impedance nejsou stejné, vlna nemůže jenom projít (srv. struna jako nucený oscilátor) Co platí na rozhraní?

Hraniční podmínky u x rozhraní x = 0 spojitost výchylky obvykle stejné jako spojitost výchylky spojitost příčné síly integrujeme, integrační konstanta je nulová

Odraz a průchod rozhraním u x rozhraní x = 0 obvykle stejné jako obě podmínky platí pro každé t spojitost výchylky spojitost příčné síly koeficient odrazu koeficient průchodu

Odraz a průchod rozhraním u x rozhraní x = 0 obvykle stejné jako obě podmínky platí pro každé t spojitost výchylky spojitost příčné síly koeficient odrazu 2 rovnice pro 2 neznámé se snadno vyřeší a máme konečně výsledek: koeficient průchodu

Odraz a průchod rozhraním vždy volný konec pevný konec pozn:

Zvukové vlny

Zvukové vlny v plynech x rovnovážný tlak průřez trubice

Zvukové vlny v plynech rovnovážný tlak průřez trubice x rovnovážný tlak průřez trubice výchylka tenké vrstvy plynu x

Akustický tlak a posunutí x „výchylka“ tlaku (akustický tlak) - souvisí se změnou objemu modul objemové pružnosti - nové HRW vztahy (12.25) a (17.2)

Pohybová rovnice x hustota plynu při rovnovážném tlaku

Zvukové vlny v plynech Shrnutí dosavadních výsledků: x Shrnutí dosavadních výsledků: vztah mezi akustickým tlakem a výchylkou tenké vrstvy plynu vlnová rovnice (v 1D, už známe) rychlost zvukové vlny

(Skalární) vlnová rovnice a trojrozměrné vlny 1D 3D Důležitá řešení: - rovinná vlna - kulová vlna

Trojrozměrné vlny: rovinná vlna jednotkový vektor kolmý na vlnoplochu víme že totéž přepsáno do tvaru, který nezávisí na volbě SS: x´ (postupná rovinná vlna šířící se ve směru/proti směru vektoru ) x pro harmonickou vlnu rovnice roviny (vlnoplochy)

Trojrozměrné vlny: kulová vlna http://en.wikipedia.org/wiki/File:Spherical_wave2.gif pokud je počátek SS v Z (rozbíhavá/sbíhavá kulová vlna) pro harmonickou vlnu

Rychlost zvukové vlny adiabatický děj (obecně) celkový tlak x adiabatický děj (obecně) celkový tlak v našem označení a pro malé změny

Harmonická zvuková vlna: výchylka a tlak x vztah mezi akustickým tlakem a výchylkou tenké vrstvy plynu harmonická vlna

Harmonická zvuková vlna: výchylka a tlak

Harmonická zvuková vlna: výkon a intenzita x charakteristická impedance Intenzita = střední hodnota energie, která projde za jednotku času jednotkovou plochou kolmou ke směru šíření.

hladina intenzity zvuku

Kulová vlna: změna intenzity se vzdáleností předp. harmonickou vlnu pokud se zachovává mechanická energie porovnáme s => amplituda musí klesat takto

Stojaté vlny ještě jednou stejně jako na struně Kde má tlak kmitnu má výchylka uzel a naopak.

Stojaté vlny ještě jednou

Stojaté vlny ještě jednou oba konce stejné různé konce

Zdroje hudebního zvuku

Zdroje hudebního zvuku

Interference (nyní 2 bodové zdroje ve 3D) to už známe, jedná se o skládání harmonických kmitů (případ kdy jsou stejné frekvence) Záleží na fázovém rozdílu

Interference (nyní 2 bodové zdroje ve 3D) dráhový rozdíl: konstruktivní interference destruktivní interference fázový rozdíl: dráhový rozdíl: - lib. celé číslo Záleží na fázovém rozdílu

Dvojštěrbinový experiment (Youngův pokus) Interference Dvojštěrbinový experiment (Youngův pokus)

předpokládáme skládání harmonických kmitů (stejné frekvence i amplitudy)

Vlny a částice

Dopplerův jev

Dopplerův jev

Dopplerův jev pro světlo neplatí

Nadzvukové rychlosti, rázové vlny