Fraktálová geometrie

Matematické modely vymezit zkoumaný systém zjistit základní veličiny na nichž závisí vývoj systému v čase tvorba matematického modelu: vzájemný vztah základních veličin výstupem matematického modelu jsou data popisující chování zkoumaného systému ověření výstupních dat na reálném systému korekce matematického modelu

Matematické modely Výstupem může být i geometrický útvar Příklady z oblasti biologie Program pro syntetický život Tierra Matematický model DNA generovaný počítačem Matematický model jednoduché „evoluce“ Vězňovo dilema – spolupráce nebo zrada? Některé geometrické útvary mají zvláštní vlastnosti, nazýváme je fraktály

Fraktálová geometrie Benoit Mandelbrot, Gaston Julia Základní literatura : The Fractal Geometry of Nature La fractale, fractus, fraction výzkum začneme na jednoduchém fraktálu Kochové křivce (Helge von Koch, 1904)

Vlastnosti Kochové křivky křivka je spojitá, nikde sama sebe neprotíná celá křivka je uvnitř kružnice opsané původnímu trojúhelníku křivka má nekonečnou délku, i když je „uzavřena“ v kružnici, délka hranice : o ... obvod trojúhelníku n … počet „dělení“ trojúhelníku

Vlastnosti Kochové křivky Každá část křivky obsahuje sebe sama, z každé části lze obnovit celou křivku – tato vlastnost se nazývá : vnitřní homotetie (self-similarity)

Jakou má Kochové křivka dimenzi? dimenze 0 : body dimenze 1 : přímky dimenze 2 : roviny dimenze 3 : prostory dimenze d : dimenze Kochové křivky?

Jakou má Kochové křivka dimenzi?

Je nutná nová definice dimenze ! Útvary klasické eukleidovské geometrie mají celočíselnou (topologickou) dimenzi Velice zjednodušeně : topologická dimenze označuje počet parametrů, kterými můžeme popsat každý bod na geometrickém útvaru přímka : každý bod lze popsat jediným parametrem, má tedy dimenzi 1, každá křivka v rovině má rovněž dimenzi 1, každý bod lze totiž obecně popsat: x=x(t), y=y(t), kde parametr t probíhá určitý interval rovina : rovina má tedy dimenzi 2

Jiná definice dimenze Úsečku o topologické dimenzi 1 rozdělíme na N stejných úseček. Koeficient stejnolehlosti pro jednu úsečku bude tedy Když budeme místo úsečky dělit čtverec (dimenze 2) na N shodných čtverců, koeficient stejnolehlosti pro jeden čtverec bude bude

Pro krychli tedy platí : Není problém definovat krychli s eukleidovskou dimenzí větší než 3, nazveme ji d, pak analogicky platí : Z toho vyjádříme d : Dostali jsme vzorec pro výpočet homotetické (Hausdorffovy – Besicovitchovy) dimenze, která se někdy nazývá fraktálová

Definice fraktálů Mandelbrot : „Fraktály se charakterizují intuitivním a pracovním způsobem prostřednictvím obrázků či množin, které by se mohly označit za fraktální, a přitom se vyhýbáme jejich definování matematickým a kompaktním způsobem“

Definice fraktálů Mandelbrot : „A fractal is by definition a set for which the Hausdorff Besicovitch dimension strictly exceeds the topological dimension.“ Překlad : „Fraktál je podle definice množina, pro kterou je Hausdorffova-Besicovitchova dimenze vyloženě větší než topologická dimenze.“

Výpočet fraktálové dimenze Kochové křivky „Klasická“ křivka : když použijeme menší a menší měřítko, délka se blíží k nějaké konečné hodnotě Kochové křivka : tzn., při zmenšování měřítka je délka nekonečná (Richardsonův empirický zákon – pobřeží Bretaně)

Výpočet fraktálové dimenze Kochové křivky

Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů Množina komplexních čísel : Množina komplexních čísel obsahuje všechna reálná čísla Navíc obsahuje tzv. imaginární jednotku i platí algebraický tvar komplexního čísla je a+b.i, kde a,b jsou libovolná reálná čísla sčítání a násobení provádíme stejně jako čítání a násobení dvojčlenů v R každé komplexní číslo lze znázornit v rovině jako bod o souřadnicích [a;b]

Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů iterace … opětovné užití téhož početního obratu, výsledek početního obratu je vstupem pro následující opakování téhož obratu iterace v C … počáteční hodnota z = 0+0i tj. bod o souřadnicích [0;0] c je testované komplexní číslo pokud c konverguje tj. blíží se bodu [0;0], označíme je černě pokud diverguje označíme jej barevně, např. podle „rychlosti“ divergence

Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů Výsledkem otestování všech bodů roviny je fraktálový útvar, který se nazývá Mandelbrotova množina (M-set). Vlastnosti : celá množina leží v kruhu o poloměru 2 množina je souvislá fraktální dimenze hranice množiny je 2, jedná se tedy o fraktál obsahuje údaje o všech tzv. Juliových množinách každou část lze „zvětšovat“ do nekonečna, vždy se objeví nové a nové strukrury

Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů Využití : umění modelace fázových přechodů – magnetizace a demagnetizace počítačové benchmarky

Další zajímavé fraktály Cantorův prach (Cantorovo mračno) Sierpinského koberec Mengerova houba Fraktálové rozhraní Newtonovy metody Počítačová grafika – imaginární krajiny

Použitá literatura Gleick, J. : Chaos. Ando, Praha, 1996 Coveney, P., Highfield, R. : Mezi chaosem a řádem, Mladá fronta, Praha, 2003 Prigodine, I., Stengersová I. : Řád z chaosu. Mladá fronta, Praha, 2001 Mandelbrot, B. : Fraktály. Mladá fronta, Praha, 2003 Mandelbrot, B. : The Fractal Geometry Of Nature. W. H. Freeman And Company, New York, 2000 Burger, E. B., Starbird M. : The Heart Of Mathematics, Key College Publishing, Emeryville, California, 2000

Děkuji Vám za pozornost

červené proužky - hostitelé žluté proužky – parazité modré proužky – imunní hostitelé

vlevo model vpravo DNA v rastrovacím tunelovém mikroskopu

„Evoluční“ rovnice dN/dt=rN(K-N)-mN N … počet jedinců r … natalita m … mortalita K … „přepravní“ schopnost prostředí

Vězňovo dilema – červená zrádce po zrádci, žlutá zrádce po spolupracujícím, modrá spolupracující po spolupracujícím, zelená spolupracující po zrádci

Kochové křivka

Mandelbrotova množina

Cantorův prach, d = 0,63 (průnik „rozpadající se“ tyče se svou podélnou osou)

Mengerova houba, d = 2,7268

Sierpinského koberec, d = 1,8928

Newtonova iterační metoda pro

Fraktálové krajiny generované Barnsleyovou „kolážovou“ metodou“