a + b > c Ʌ a + c > b Ʌ b + c > a 4_Trojúhelník Definice: Trojúhelník je průnik tří polorovin: ∆ ABC = ⟼ ABC ∩ ⟼CBA ∩ ⟼ACB Trojúhelníková nerovnost – součet dvou stran je větší než strana třetí a + b > c Ʌ a + c > b Ʌ b + c > a A, B, C … vrcholy trojúhelníky a, b, c … strany trojúhelníka α, β, γ … vnitřní úhly α´, β´, γ´…vnější úhly Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180° α + β + γ = 180° C γ Součet dvou vnitřních úhlů je roven vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu trojúhelníku. α + β = γ´Ʌ α + γ = β ´Ʌ β + γ = α´ α´ β B A

Dělění trojúhelníků Střední příčka Podle délek stran různostranné (obecný) – žádné dvě strany nejsou shodné rovnoramenné – dvě strany shodné rovnostranné – všechny strany shodné Podle velikosti vnitřních úhlů ostroúhlé tupoúhlé pravoúhlé Střední příčka úsečka spojující středy dvou stran ∆ každá střední příčka je rovnoběžná s tou stranou ∆, jejíž střed nespojuje je rovna ½ velikosti protější strany

Poloha ORTOCENTRA v trojúhelníku Výška trojúhelníku Výška je úsečka mezi vrcholem a patou kolmice vedené tímto vrcholem k protější straně. ● označujeme va, vb a vc ● výšky se protínají v bodě O, Který se nazývá ORTOCENTRUM Je-li va výška ke straně a, vb výška ke straně b, vc výška ke straně c, platí: va : vb : vc = 1/a : 1/b : 1/c Poloha ORTOCENTRA v trojúhelníku Na čem záleží, zda ortocentrum leží uvnitř, nebo vně trojúhelníku?

Těžnice trojúhelníku Úsečka spojující vrchol trojúhelníka se středem protější strany. označujeme ta, tb, tc průsečnice těžnic se nazývá těžiště a značíme ho T. tento bod dělí těžnice v poměr 2 : 1 tak, že delší úsek těžnice leží vždy u vrcholu. To znamená, že úsek těžnice od vrcholu do těžiště je vždy 2/3 celkové délky těžnice.

Kružnice opsaná trojúhelníku Prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Středem kružnice trojúhelníku opsané je průsečík os stran trujúhelníku. Poloměr r opsané kružnice je roven vzdálenosti středu S od libovolného vrcholu. V ostroúhlém trojúhelníku je střed opsané kružnice vnitřním bodem, v tupoúhlém trojúhelníku je stře kružnice opsané vnějším bodem trojúhelníku, v pravoúhlém trojúhelníku je střed kružnice opsané totožný se středem přepony. S S S

Kružnice trojúhelníku vepsaná Středem kružnice vepsané trojúhelníku je průsečík os vnitřních úhlů trojúhelníku. Střed kružnice vepsané S má stejnou vzdálenost od všech stran trojúhelníku: ISaI = ISbI = IScI. Poloměr ρ vepsané kružnice je roven kolmé vzdálenosti středu S od libovolné strany. Střed kružnice ∆ vepsané je ve všech případech vnitřním bodem ∆. Úloha 1. V ∆ABC jsou dány strany a = 6 cm, b = 8 cm. Určete, pro které hodnoty strany c ϵ R+ existuje trojúhelník ABC. Úloha 2. V ∆ABC známe těžnice ta = 9 cm, tb = 6 cm. Jakých hodnot může nabývat délka strany a?

Zdroje: J. POLÁK. Přehled středoškolské matematiky. Státní pedagogické nakladatelství: Praha. 1972 J. Petáková. Matematika příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy.Prometheus: Praha. 1996 Z. Vošický. Matematika v kostce. Praha: Fragment, 2007 M. Krynický. realisticky.cz [online], Dostupný na http://www.realisticky.cz/ucebnice.php?id=2 M. Palková a spol.. Průvodce matematikou II. Brno: Didaktis., 2009