Plošné konstrukce, nosné stěny Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Plošné konstrukce, základní znaky Plošné konstrukce rovinné Základní rovnice matematické teorie pružnosti Nosné stěny Metody řešení nosných stěn Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Plošné konstrukce, základní charakteristika Prut je trojrozměrné těleso, jehož jeden rozměr (délka) je podstatně větší než zbývající dva rozměry. Plošný konstrukční prvek je trojrozměrné těleso, jehož dva rozměry jsou podstatně větší než zbývající jeden rozměr (tloušťka). Množinou bodů dělících tloušťku plošného prvku na dvě stejné části je střednicová plocha.

Plošné konstrukce, základní charakteristika Rovinnou střednicovou plochu mají nosné stěny desky Zakřivenou střednicovou plochu mají skořepiny membrány

Nosné stěny Idealizují se jako rovinný obrazec (nejčastěji ve svislé rovině), může mít otvory Zatížení působí pouze ve střednicové rovině a může být vyvoláno idealizovanými bodovými silami idealizovanými liniovými silami vlastní tíhou změnou teploty Vazby mohou být liniové bodové

Nosné stěny, příklady

Nosné stěny, příklady

Nízký a vysoký stěnový nosník

Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru - 1 Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru - 1. rovnice rovnováhy

Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru - 2 Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru - 2. geometrické rovnice

Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru - 2 Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru - 2. geometrické rovnice, rovnice kompatibility (slučitelnosti) Obdobně lze odvodit další podmínky kompatibility V prostoru je celkem 6 rovnic kompatibility Nejsou-li tyto rovnice splněny, není deformované těleso bez mezer nebo vzájemných průniků

Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru – 3 Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru – 3. Hookův zákon

Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru - 3 Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru - 3. Hookův zákon, pokračování

Předpoklady řešení nosných stěn Fyzikální linearita Geometrická linearita Konstrukční linearita, všechna vnitřní a vnější vazby zůstávají zachovány při všech zatíženích působících na konstrukci Pak lze využít - princip superpozice Princip Saint-Venantův: V bodech tuhého tělesa, dostatečně vzdálených od působišť vnějších sil, napětí velmi málo závisí na detailním způsobu realizace těchto zatížení

Metody řešení nosných stěn, základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině Klasická úloha pro rovinný případ napjatosti. Pro střednicí v rovině xy je:

Řešení nosných stěn, pokračování Po dosazení Hookova zákona do rovnice kompatibility je: Při konstantních objemových silách: Po úpravě: Laplaceův operátor 2. řádu

Řešení nosných stěn, pokračování

Řešení nosných stěn, stěnová rovnice

Nosné stěny, okrajové podmínky Statické (tzv. 1. problém pružnosti) Výslednice napětí na okraji (hranici) řešené oblasti (stěny, desky) musí být rovna výslednici povrchových sil Deformační (tzv. 2. problém pružnosti) Přetvoření na okraji (hranici) řešené oblasti (stěny, desky) musí odpovídat vnějším vazbám (předepsaným hodnotám) Smíšené (tzv. 3. problém pružnosti) V rovinných úlohách musí být v každém bodě okraje splněny vždy dvě okrajové podmínky. Jedna z nich může být statická, druhá deformační.

Nosné stěny, příklad řešení a, b, c určíme z okrajových podmínek F vyhovuje stěnové rovnici, neboť:

Nosné stěny, příklad řešení Složky napětí: Okrajové podmínky:

Nosné stěny, příklad řešení, pokračování Po dosazení do Airyho funkce je: složky napětí: Tyto vztahy jsme odvozovali v PP, viz Grashofův vzorec, pro obdélníkový průřez a pro jednotkovou šířku konzoly

Nosné stěny,některé metody řešení Metody využívající stěnovou rovnici: Inverzní metoda (viz předchozí příklad) Metoda sítí Fourierova metoda Přibližné metody: Energetické metody (např. Ritzova metoda) Metoda konečných prvků

Základní tvary konečných prvků používaných pro řešení nosných stěn

MKP, příklady diskretizace stěnového obrazce

MKP, příklady modelování zakřiveného okraje

Základní kroky v MKP při řešení stěn Analýza stěnového prvku – vede k sestavení matice tuhosti prvku a zatěžovacího vektoru prvku Analýza stěnového obrazce vede k sestavení matice tuhosti konstrukce a zatěžovacího vektoru při respektování okrajových podmínek: Vyřešení soustavy lineárních rovnic Závěrečný výpočet stěnového obrazce

Příklad řešení nosné stěny MKP

Příklad řešení nosné stěny MKP, výpočtový model stěnového obrazce

Příklad řešení nosné stěny MKP, průběh vnitřních sil na levém (vetknutém) okraji

Příklad řešení nosné stěny MKP, průběh vnitřních sil na ose symetrie

Rovinný případ deformace, základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině Pro střednici v rovině xy je:

Rovinný případ deformace, základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině

Příklady rovinného stavu deformace

Příklady rovinného stavu deformace

Plošné konstrukce, desky Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Plošné konstrukce, desky Rozdělení desek Předpoklady a řešení tenkých desek Metody řešení tenkých desek Skořepiny Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Desky Idealizují se jako rovinný obrazec (nejčastěji ve vodorovné rovině), může mít otvory Zatížení působí pouze kolmo ke střednicové rovině a může být vyvoláno idealizovanými bodovými silami (momenty) idealizovanými liniovými silami (momenty) idealizovanými plošnými silami vlastní tíhou změnou teploty Vazby působí kolmo ke střednicové rovině a mohou být bodové (proti posunům) liniové (proti posunům a pootočením) plošné 36

Desky, příklady 37

Desky, příklady podpor desek 38

Desky, příklady 39

Pravoúhlé desky, volba souřadného systému 40

Desky, rozdělení Desky lze rozdělit dle rozměrů : membrány h/l < 1/80, velmi tenké desky h/l = 1/50 až 1/80, tenké desky h/l = 1/10 až 1/50, hrubé desky h/l = 1/5 až 1/10, prostorová tělesa h/l > 1/5. Dle deformace: s malými deformacemi |wmax| <1/300 a současně |wmax| <h/4 a |jmax| < p/60 se středními, případně velkými deformacemi |wmax| > 1/300, řešení patří k nelineárním úlohám pružnosti 41

Desky, tenké desky s malými deformacemi, předpoklady řešení Autorství lineární teorie desek se přisuzuje Kirchhoffovi. Je založeno na těchto předpokladech: 1. Deformace střednicové plochy jsou malé. 2. Normálová napětí sz jsou v porovnání s napětím sx, a sy malá a zanedbávají se. 3. Body ležící před deformaci na normále ke střednici leží na ní i po deformaci (tzv. špendlíková hypotéza). Nemění se také jejich vzdálenost ez.=0. Důsledkem je, že přetvoření lze vyjádřit jako funkci ohybové plochy w(x,y), gxz=gyz=0. 4. Body na střednicové ploše desky mají nulové normálové napětí a přemísťují se pouze ve směru osy z (podmínkou je symetrie tvaru a materiálu desky. 42

Desky, příklady reálného průběhu napětí sz Schéma rozložení napětí při plošném zatížení a), reálný průběh napětí sz na obr. b). 43

Tenké desky, předpoklady o deformaci Střednice desky se pohybuje pouze ve směru osy z. Normála ke střednici n před zatížením zůstává normálou i po zatížení n´. Posunutí bodu K v rovině xy ležícího mimo střednici do bodu K´ lze vyjádřit jako funkci u=f1(w), obdobně v=f2(w). 44

Tenké desky, řešení 45

Tenké desky, řešení, pokračování 46

Tenké desky, řešení, pokračování 47

Desky, průběh složek napětí a složek měrných vnitřních sil Kladný smysl vnitřních sil je zřejmý z obr. Na tzv. kladných ploškách jsou orientovány ve směru kladných os x,y (ohybové momenty vyvolávají tah ve spodních vláknech a kladné kroutící momenty mají směr kladných tečných napětí). Na záporně orientovaných ploškách je to opačně. 48

Desky, odvození složek měrných vnitřních sil Měrné vnitřní síly mají význam intenzity vnitřních sil, jsou vztaženy k jednotkové délce příslušného řezu. Označují se malými písmeny. 49

Desky, odvození složek měrných (posouvajících) vnitřních sil 50

Desky, transformace složek měrných vnitřních sil, hlavní momenty 51

Desky, podmínky rovnováhy 52

Desky, podmínky rovnováhy, pokračování 53

Desky, podmínky rovnováhy, pokračování, desková rovnice 54

Desky, desková rovnice pro pravoúhlé desky parciální diferenciální rovnice 4. řádu, lineární nehomogenní (má pravou stranu) eliptického typu Pro p=0 jde o biharmonickou rovnici. Každá biharmonická funkce odpovídá průhybové ploše desky zatížené jen na okrajích. 55

Okrajové podmínky desky Řešení rovnice desky musí odpovídat daným okrajovým podmínkám (vždy dvě na okraji). Okraj vetknutý: na okraji nulový průhyb i pootočení 56

Okrajové podmínky desky, okraj prostě podepřený Na okraji nulový průhyb a nulový moment mx. Deformační vyjádření OP: 57

Okrajové podmínky desky, okraj prostě podepřený, pokračování Desková rovnice umožňuje plnit na okraji pouze dvě podmínky. Mělo by zde být ještě třetí podmínka mxy=0. Řeší se tzv. doplněnou posouvající silou. 58

Okrajové podmínky desky, okraj volný Na nezatíženém okraji by měly být splněny tři podmínky, a to: Předepisujeme však jen dvě podmínky: 59

Desky, metody řešení Přímé řešení deskové rovnice v uzavřeném tvaru neexistuje. Aplikují se přibližné metody, ke kterým např. patří: Navierovo řešení, založené na rozvoji funkce zatížení a průhybu do Fourierových řad Metoda sítí Metoda konečných prvků 60

Desky, příklad řešení metodou sítí 61

Desky, příklad řešení metodou sítí 62

Deskový pás Je nejjednodušší případ deskové konstrukce 63

Desky, příklady 64

Desky kruhové 65

Tlusté desky, Mindlinova teorie Body normály ke střednicové rovině zůstávají po deformaci na přímce. Ta již obecně není normálou ke střednicové rovině. Vedle neznámé w, jsou zde ještě neznámé jx a jy, respektive 66

Skořepinové konstrukce Plošné konstrukce se zakřivenou střednicovou plochou 67

Skořepinové konstrukce, příklady 68

Příklad válcové skořepiny 69