VY_32_INOVACE_05_PVP_262_Kra Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 „EU peníze středním školám“ Název školy Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod Název OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0258 Název projektu Inovace a individualizace výuky na OA a HŠ Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení vzdělávacího materiálu VY_32_INOVACE_05_PVP_262_Kra Druh učebního materiálu Prezentace Autor  RNDr. Irena Králová

Vzdělávací obor, pro který je materiál určen Obchodní akademie, Hotelnictví, Ekonomické lyceum Předmět Matematika Ročník 3. Název tematické oblasti (sady) Posloupnosti Název vzdělávacího materiálu Vzorec pro n-tý člen, rekurentní vzorec Anotace V prezentaci je ukázáno na několika příkladech, jak z posloupnosti, která je zadána výčtem několika prvních členů, je sestaven vzorec pro n-tý člen. Dále je představeno zadání posloupnosti rekurentním vzorcem a opět na několika příkladech je ukázáno, jak se z něj vypočítávají jednotlivé členy. V závěru je zadán příklad pro ověření pochopení a zvládnutí dané tematiky. Zhotoveno, (datum/období) 30. 11. 2013 Ověřeno 14. 1. 2014

Vzorec pro n-tý člen, rekurentní vzorec Posloupnosti Vzorec pro n-tý člen, rekurentní vzorec

Příklad 1 V grafu posloupnosti 𝑎 𝑛 𝑛=1 ∞ je zobrazeno prvních pět členů. Určete je a napište vzorec pro n-tý člen této posloupnosti. 𝑎 𝑛

Řešení příkladu 1 Posloupnost má tyto členy: 𝑎 1 =1, 𝑎 2 =2, 𝑎 3 =3, 𝑎 4 =4, 𝑎 5 =5. První člen je roven jedné, druhý dvěma atd. Každý člen této posloupnosti je roven svému pořadí, n-tý člen je roven n. Proto můžeme psát: 𝑎 𝑛 =𝑛, jedná se tedy o posloupnost 𝑛 𝑛=1 ∞ .

Příklad 2 Jsou dány posloupnosti: 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 ,… 1 3 , 1 9 , 1 27 , 1 81 , 1 243 ,… −2, −4, −6, −8, −10,… 4, −4, 4, −4, 4,… Ke každé posloupnosti napište ještě další dva členy a určete tyto posloupnosti pomocí vzorce pro n-tý člen.

Řešení příkladu 2 6 7 , 7 8 𝑎 𝑛 = 𝑛 𝑛+1 1 729 , 1 2187 𝑎 𝑛 = 1 3 𝑛 6 7 , 7 8 𝑎 𝑛 = 𝑛 𝑛+1 1 729 , 1 2187 𝑎 𝑛 = 1 3 𝑛 −12, −14 𝑎 𝑛 =−2𝑛 −4, 4 𝑎 𝑛 = −1 𝑛+1 ∙4 *) *) mocnina −1 𝑛+1 zajišťuje střídání znamének tak, aby všechny liché členy byly kladné a všechny sudé členy záporné.

Příklad 3 Je dána posloupnost 2𝑛−5 𝑛=1 ∞ . Určete 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 𝑛 , 𝑎 𝑛−1 , 𝑎 𝑛+1 , 𝑎 𝑛+2 . Řešení příkladu 3: 𝑎 1 =2∙𝟏−5=−3 𝑎 2 =2∙𝟐−5=−1 𝑎 𝑛 =2∙𝒏−5=2𝑛−5 𝑎 𝑛−1 =2∙ 𝒏−𝟏 −5=2𝑛−7 𝑎 𝑛+1 =2∙ 𝒏+𝟏 −5=2𝑛−3 𝑎 𝑛+2 =2∙ 𝒏+𝟐 −5=2𝑛−1

Rekurentní vzorec posloupnosti Rekurentní zadání posloupnosti znamená, že známe vztah mezi několika sousedními členy posloupnosti a hodnoty některých jejích členů. Na základě toho pak můžeme dopočítat i hodnoty ostatních členů.

Příklad 4 Posloupnost je dána rekurentně takto: 𝑎 𝑛+1 =2 𝑎 𝑛 −1, 𝑎 1 =2. Vypočtěte členy 𝑎 2 , 𝑎 3 , 𝑎 4 . Řešení příkladu 4: 𝑎 2 = 𝑎 1+1 =2 𝑎 1 −1=2∙𝟐−1=3 𝑎 3 = 𝑎 2+1 =2 𝑎 2 −1=2∙𝟑−1=5 𝑎 4 = 𝑎 3+1 =2 𝑎 3 −1=2∙𝟓−1=9 Tímto způsobem bychom postupně počítali hodnoty dalších členů posloupnosti.

Příklad 5 Posloupnost je dána rekurentně takto: 𝑎 𝑛+2 = 𝑎 𝑛+1 − 𝑎 𝑛 , 𝑎 1 =2, 𝑎 2 =−1. Vypočtěte její třetí, čtvrtý a pátý člen. Sestrojte graf. Řešení příkladu 5: 𝑎 3 = 𝑎 1+2 = 𝑎 1+1 − 𝑎 1 = 𝑎 2 − 𝑎 1 =−1−2=−3 𝑎 4 = 𝑎 2+2 = 𝑎 2+1 − 𝑎 2 = 𝑎 3 − 𝑎 2 =−3+1=−2 𝑎 5 = 𝑎 3+2 = 𝑎 3+1 − 𝑎 3 = 𝑎 4 − 𝑎 3 =−2+3=1

Graf posloupnosti z příkladu 5 𝑎 𝑛

Domácí úkol Jsou dány posloupnosti 𝑎) 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , 1 32 , … 𝑏) 3, 6, 9, 12, 15, … 𝑐) 1, 3, 5, 7, 9, … 𝑑) −6, 6, −6, 6, −6, … Napište ještě další dva členy a určete posloupnosti vzorcem pro n-tý člen. Vypočtěte 𝑎 2 , 𝑎 3 , 𝑎 4 , jestliže je dáno: 𝑎 𝑛+1 = 𝑎 𝑛 2 −4, 𝑎 1 =8

Použitá literatura: ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: posloupnosti a řady. 2. vyd. Praha: Prometheus, 2001, 126 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6195-7. Použité zdroje: Pro tvorbu grafů byl použit program GeoGebra. Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.