FIFEI-04 Mechanika – dynamika soustavy hmotných bodů a tuhých těles. http://stein.upce.cz/msfei14.html http://stein.upce.cz/fei/fIfei_04.html Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029 21. 04. 2014

Hlavní body Blíže k realitě : soustava (systém) hmotných bodů a dokonale tuhé těleso Moment hybnosti, moment síly Dynamika rotačních pohybů Druhá impulsová věta Hmotný střed, moment setrvačnosti a Steinerova věta Rozklad silového působení na translační a rotační u dokonale tuhého tělesa 21. 04. 2014

Moment hybnosti – základní zákony zachování Z dynamiky hmotného bodu je zřejmé, že je-li výslednice působících sil nulová, zachovává hmotný bod svoji hybnost a kinetickou energii. Přímočarý pohyb je možné chápat jako okamžitou rotaci kolem počátku a definovat rotační pohybový stav hmotného bodu – moment hybnosti: Tato veličina se zachovává. K zachování dochází i při působení nenulové síly, pokud je kolineární s průvodičem, například centrální síla při pohybu planet. 21. 04. 2014

Dynamika rotačních pohybů I Síla uvádí tělesa do translačních i rotačních pohybů, ale u rotačních je důležité jakým způsobem působí. Na pevné nehmotné vodorovné tyčce je hmotný bod m ve vzdálenosti r od vodorovného pantu, kolem kterého se tyčka může volně otáčet. Ve vzdálenosti  od tohoto pantu se snažíme působit silou F, abychom vykompenzovali tíhu hmotného bodu a tyčka byla v rovnováze. 21. 04. 2014

Dynamika rotačních pohybů II Naše síla vyrovnává svislou tíhu, tedy k rovnováze přispěje pouze její svislá složka, kolmá k (vodorovné) tyčce : Fk = Fsin(). Experimentálně lze ověřit, že: Tíha hmotného G = mg bodu je podepřena současně naší silou a silou v pantu : G = F0 + Fk . Rozložení tíhy je nepřímo úměrné vzdálenosti podpůrných sil : F0 r = Fk ( - r) . Tedy : G r = Fk  21. 04. 2014

Dynamika rotačních pohybů III Je patrné, že pro otáčivý účinek síly je kromě její velikosti rozhodující i její vzdálenost od osy otáčení a její směr vzhledem ke směru průvodiče osa – působiště. Souhrnně je otáčivý účinek popsán momentem síly : počátek je v průsečíku osy a roviny otáčení. 21. 04. 2014

Dynamika rotačních pohybů IV Předpokládejme konstantní moment síly. Potom s použitím druhého Newtonova zákona můžeme psát : Moment síly je tedy roven časové změně momentu hybnosti. Toto je nejobecnější formulace druhého Newtonova zákona pro rotaci. 21. 04. 2014

Dynamika rotačních pohybů V V případě, že těleso má konstantní hmotnost a její rozložení (geometrii), je výhodné zavést moment setrvačnosti vzhledem k příslušné ose otáčení : J =  mi r2i a psát : Význam tohoto vztahu ilustrujme na příkladu podobnému příkladu předchozímu : 21. 04. 2014

Dynamika rotačních pohybů VI Hmotný bod m, leží na pevné nehmotné tyčce ve vzdálenosti r od osy otáčení, nyní ale svislé : Síla F působí ve vzdálenosti  od této osy a leží ve vodorovné rovině a opět svírá s tyčkou úhel  : S využitím předchozího : Fk  = F sin()  = r m a = r2 m  . Jsou-li na tyčce dva hmotné body, můžeme ukázat aditivnost momentu setrvačnosti : F sin()  = r1 m1 a1 + r2 m2 a2 = (r21m1 + r22m2) . 21. 04. 2014

Druhá věta impulsová I Obdobně můžeme uvažovat o otáčivém účinku síly na i-tý hmotný bod vzhledem k libovolnému pevnému bodu O: 21. 04. 2014

Druhá věta impulsová II Celkový moment hybnost systému je vektorový součet všech momentů hybností uvažovaných k témuž pevnému bodu O: Při sčítání přes celý systém opět využíváme důsledku zákona akce a reakce. 21. 04. 2014

Druhá věta impulsová III Časová změna celkového momentu hybnosti je rovna výslednici momentů vnějších sil, vzhledem k libovolnému pevnému bodu O, stejnému pro všechny momenty: 21. 04. 2014

Důsledky impulsových vět Je-li výslednice vnějších sil, působících na systém nulová, zachovává se celková hybnost systému. Je-li výslednice momentů vnějších sil, působících na systém nulová, zachovává se celkový moment hybnosti systému. Vnější síly mají obecně translační i rotační účinek. Je důležité, jak působí vzhledem k hmotnému středu. 21. 04. 2014

Příklad – ráz těles I Centrální ráz – hmotné body jsou kuličky, na které nepůsobí žádné vnější síly. Před srážkou se (proti sobě) pohybují dvě kuličky mi, rychlostmi vi. Po srážce mají rychlosti ui. Podle I.VI se vždy zachovává celková hybnost: Ráz se odehrává mezi dvěma mantinely – dokonale nepružný u1 = u2 = u , kdy se tělesa po rázu pohybují společně, část mechanické energie se mění na jinou formu: Dokonale pružný – zachovává se i celková kinetická energie. Přibude podmínka : 21. 04. 2014

Ráz těles II po vydělení rovnic dojdeme k řešení 21. 04. 2014

Pohyby s proměnnou hmotností Raketový pohyb I Uvažujme, že těleso s hmotností m a rychlostí se srazí s tělesem dm a a spojí se : 21. 04. 2014

Pohyby s proměnnou hmotností Raketový pohyb II Ke změně rychlosti může dojít působením vnější síly nebo přijímáním nebo vysíláním hmotnosti s jistou nenulovou relativní rychlostí. Můžeme-li předpokládat přímočarý pohyb : 21. 04. 2014

Dokonale tuhé těleso I V předešlých částech, kde jsme zaváděli veličiny důležité pro rotaci, například moment síly, jsme potřebovali fiktivní tělesa typu pevných nehmotných tyček, které přenášely sílu a moment síly. Jde o důležitou kategorii těles, kterým se říká dokonale tuhá. Znamená to, že žádným působením se nemohou měnit vzdálenosti mezi hmotnými body, z nichž jsou složena, tedy takový systém tedy není možné deformovat. 21. 04. 2014

Dokonale tuhé těleso II V praxi to znamená, že deformace, které jsou u reálných materiálů přítomny vždy, lze z hlediska řešení daného problému zanedbat. U takových těles je snadné rozložení vnějšího účinku na translační a rotační a závisí na dodatečných podmínkách. Podobně, moment setrvačnosti se během rotace nemění a má tedy jednoznačný význam. 21. 04. 2014

Dokonale tuhé těleso III Ani translační ani rotační silové působení na dokonale tuhé těleso se nezmění když: do libovolného bodu umístíme dvě síly stejně velké, ale opačně orientované. libovolnou sílu posuneme kamkoli po přímce jejího působení.  na libovolnou přímku umístíme dvě síly stejně velké, ale opačně orientované. 21. 04. 2014

Dokonale tuhé těleso IV Účinek síly, která působí v přímce procházející těžištěm, je čistě translační Účinek dvojice stejných, opačně orientovaných sil, působících v libovolných paralelních přímkách, je čistě rotační. 21. 04. 2014

Dokonale tuhé těleso V Steinerova věta I U tuhých těles je výhodné popsat rozložení hmotnosti pomocí momentu setrvačnosti : J =  mi r2i Z vlastnosti těžiště plyne Steinerova věta : kde Ja je moment setrvačnosti vůči ose, vzdálené a od těžiště a Jt je m.s. vůči ose procházející těžištěm, která je s ní paralelní 21. 04. 2014

Dokonale tuhé těleso VI Steinerova věta II Polohový vektor i-tého bodu lze vyjádřit pomocí jeho polohového vektoru v těžišťové soustavě : Tedy : Prostřední člen je z vlastnosti těžiště roven nule. 21. 04. 2014

Dokonale tuhé těleso VII Steinerova věta III Je patrné, že ze všech paralelních os je moment setrvačnosti nejmenší vůči ose procházející těžištěm. Je-li výslednice všech momentů sil, které působí na DTT nulová, rotuje těleso rovnoměrně (s konstantní ) kolem osy, procházející těžištěm nebo je v klidu. 21. 04. 2014

Dokonale tuhé těleso VIII Statika Je-li výslednice všech sil, působících na DTT nulová, pohybuje se těleso rovnoměrně nebo je v klidu. Hledáním podmínek, za kterých zůstávají tělesa v klidu se zabývá statika. Obecně musí být vykompenzovány všechny síly a všechny momenty sil, a to každá jejich složka. 21. 04. 2014

Dokonale tuhé těleso IX Kinetická energie Lze ukázat, že celková kinetická energie dokonale tuhého tělesa se obecně skládá z translační a rotační složky: 21. 04. 2014

Dokonale tuhé těleso X Porovnání translace a rotace Odpovídající nejobecnější vztahy pro dynamiku translačního a rotačního pohybu jsou : Pokud se u těles nemění hmotnost ani její rozložení, má smysl zavést moment setrvačnosti: J =  mi r2i a vztahy zjednodušit. 21. 04. 2014

Dokonale tuhé těleso XI hmotnost ~ moment setrvačnosti Speciální vztahy pro rotační pohyb obsahují moment setrvačnosti na místech, kde v analogických vztazích pro pohyb translační vystupuje hmotnost : 21. 04. 2014

Skalární součin Ať Definice I (ve složkách) Definice II Skalární součin je součin velikosti jednoho vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého do jeho směru. ^

Příklad dvě závaží na kladce I Na válcové kladce o hmotnosti m3 a poloměru r mějme dvě závaží. Vlevo je m1, vpravo m2. Přitom platí m1 > m2 a m1 klesá se zrychlením a které hledáme dolů. Pro tahy t1, t2, které vyvolávají jednotlivá závaží můžeme psát:

Příklad dvě závaží na kladce II Můžeme-li zanedbat vliv kladky J ≈ 0  t1 = t2  Pokud kladku zanedbat nemůžeme, použijeme :

Příklad dvě závaží na kladce III Po jejich dosazení platí : a po jednoduché úpravě konečně dostáváme :

Příklad dvě závaží na kladce IV Stejný výsledek dostaneme ze zachování energie : Když závaží m1 poklesne za Δt o Δh :, bude se pokles jeho potenciální energie rovnat nárůstu kinetické energie obou závaží i kladky : derivujeme podle času, potom zkrátíme v a upravíme ^

Moment setrvačnosti tenké tyčky Mějme tenkou homogenní tyčku o průřezu S, délce L a hustotě ρ. J vůči ose kolmé k délce a procházející koncem tyčky je : vůči paralelní ose procházející těžištěm změníme jen meze a můžeme snadno ověřit Steinerovu větu : ^

Moment setrvačnosti rotačního válce J homogenního válce délky L, poloměru a a hustoty ρ vůči rotační ose vypočteme použitím polárních souřadnic : Je patrné, že středový úhel může být jakýkoli a projeví se to pouze v příslušné hmotnosti m. ^

Pohyb s proměnnou hmotností I Na pás dopravníku, běžící rychlostí 2.2 m/s dopadá 75 kg/s písku s nulovou vodorovnou rychlostí. Jakou sílu a výkon musí mít motor pohánějící dopravník, aby se pás pohyboval konstantní rychlostí? Vyjdeme ze skalární formy rovnice pro pohyb s proměnnou hmotností :

Pohyb s proměnnou hmotností II Na udržení konstantní rychlosti pásu je tedy třeba síla 2.2*75 = 165 N. Potřebný výkon motoru : Zajímavé je, že jen polovina tohoto výkonu jde na zvýšení kinetické energie písku. ^

Pohyb s proměnnou hmotností III Raketa o hmotnosti 21 t, z toho 15 t paliva startuje ze Země svisle vzhůru. Z motorů vylétá 190 kg/s paliva rychlostí 2800 m/s. Jaký je tah motorů? Jaká je výsledná síla po odečtení gravitační při startu a těsně před vyhořením paliva? Jak dlouho trvá než palivo vyhoří? Jaké rychlosti raketa dosáhne?

Pohyb s proměnnou hmotností IV Tah : Výsledné síly :

Pohyb s proměnnou hmotností V Zanedbáme odpor vzduchu a předpokládáme, že během, letu rakety 79 s, je gravitační zrychlení g konstantní. Pak : Po dosazení konečného času a hmotnosti je rychlost v = 2730 m/s.

Pohyb s proměnnou hmotností VI Raketa nedosáhla ani první kosmické rychlosti , takže pokud by neměla další stupeň, spadla by zpátky na Zem. Gravitační zrychlení ve výšce 100 km je jen o 1.5% menší než g . Zanedbání odpor vzduchu je vzhledem k dosaženým rychlostem určitě nekorektní. ^

Dva speciální případy pružného rázu I 1) m1 = m2, v2 = 0 → u1 = 0, u2 = v1 Částice si vymění rychlosti a pokud jsou nerozlišitelné a nevidíme, zda se srazily, nemůžeme to nijak zjistit. 2) 2m1 = m2, v2 = 0 → u1 = -v1/3, u2 = 2v1/3 Můžeme snadno ověřit, že skutečně platí : u1 + v1 = u2 + v2 ^