Konstruktivní geometrie Fakulta strojní ZS 2008/2009 Přednášející: Mgr. Daniela Bímová, Ph.D. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky budova H – 4. patro

Sylabus: 1. Princip pravoúhlého (Mongeova) promítání. Zobrazení bodů, přímek, rovin. 2. Průsečík přímky a roviny, průsečnice dvou rovin, roviny rovnoběžné. (Rovinný řez hranolů a jehlanů.) 3. Kolmost přímky a roviny, vzdálenosti lineárních útvarů. Otočení roviny do průmětny. 4. Pravoúhlé průměty kružnice v promítací rovině. Elementární tělesa v obecné poloze, pojem obrysu a viditelnosti. 5. Analytická geometrie v E3. Operace s vektory. Souřadnice vektoru a bodu. Parametrická vyjádření přímky a roviny. 6. Obecná rovnice roviny. Polohové a metrické úlohy v E3. 7. Vektorová funkce jedné reálné proměnné. Definice a rovnice křivky, tečny křivky. 8. Průvodní trojhran křivky, křivost, torze. 9. Šroubovice. Rovnice, základní vlastnosti šroubovice. Konstruktivní úlohy o šroubovici. 10. Pojem plochy, křivky na ploše, tečná rovina plochy. Pojem rotační plochy, meridián a tečná rovina rotační plochy. 11. Konstruktivní úlohy o rotační ploše, řez rotační plochy rovinou. Průniky rotačních ploch. 12. Šroubové plochy. Definice, základní konstruktivní úlohy o šroubových plochách. 13. Cyklické šroubové plochy. Přímkové šroubové plochy. Zobrazení cyklických a přímkových šroubových ploch.

Doporučená literatura KARGEROVÁ, M.: Deskriptivní geometrie pro technické školy. Ostrava, Montanex, 1997. PŘÍVRATSKÁ J.: Geometrie pro techniky - modul 0. Liberec, TU, 2004. PŘÍVRATSKÁ J.: Geometrie pro techniky - modul 0S. Liberec, TU, 2004. PECINA, V. - PŘÍVRATSKÁ J.: Geometrie pro techniky - modul 1. Liberec, TU, 2001. PECINA, V. - PŘÍVRATSKÁ J.: Geometrie pro techniky - modul 2. Liberec, TU, 2002. BÍMOVÁ, D. - PECINA, V. - PŘÍVRATSKÁ J.: Geometrie pro techniky - modul 3. Liberec, TU, 2003. POMYKALOVÁ, E.: Matematika pro gymnázia - stereometrie. Praha, Prometheus, 1995. URBAN, A.: Deskriptivní geometrie I, II. Praha, SNTL, 1967.

Promítání Každé zobrazení, pomocí něhož je možné zobrazovat trojrozměrný euklidovský prostor E3 a geometrické útvary v něm do roviny, se nazývá promítání. Metody, které takové zobrazení zprostředkují se nazývají promítací metody. Na základě promítacích metod se pak mohou útvary modelovat, studovat vzájemné vztahy mezi nimi a řešit rovinné a prostorové úlohy. Volba souřadnicového systému potom umožňuje útvary vhodně zvětšovat a zmenšovat. Rozlišujeme 2 druhy promítání: - středové - rovnoběžné (běžně se užívá tzv. volného rovnoběžného promítání, které je názorné a vhodné pro pochopení prostorových úloh).

Rovnoběžné promítání Rovnoběžné promítání je dáno rovinou , kterou nazýváme průmětna, a směrem s, který je s ní různoběžný. V rovnoběžném promítání sestrojíme obraz bodu následovně: Nechť A je libovolný bod prostoru, proložíme-li bodem A přímku a rovnoběžnou se směrem promítání s, je obrazem bodu A průsečík A´ přímky a s průmětnou .

Mongeovo promítání Mongeovo promítání umožňuje zobrazit trojrozměrné objekty na rovinu (na list papíru, na obrazovku monitoru, aj.). Je speciálním příkladem rovnoběžného promítání. Je kombinací dvou kolmých promítání na dvě na sebe navzájem kolmé roviny. Přitom kolmým promítáním rozumíme takové rovnoběžné promítání, kde směr promítání s je kolmý na rovinu .

Svislá průmětna, která splývá s rovinou papíru, se nazývá nárysna a značí se . Vodorovná průmětna se nazývá půdorysna a značí se . Průsečnice půdorysny a nárysny se nazývá základnice a značí se y12.

Promítáme-li v Mongeově promítání trojrozměrný geometrický útvar, užíváme k jeho zobrazení na jednotlivé průmětny tzv. promítací přímky. Ty jsou navzájem rovnoběžné (rovnoběžné promítání) a kolmé k jednotlivým průmětnám (kolmé promítání). Promítací přímky rýsujeme nejdůležitějšími body trojrozměrného objektu. Např. při zobrazování krychle v Mongeově promítání procházejí promítací přímky jednotlivými vrcholy krychle.

Promítací přímky protínají průmětny v bodech, které nazýváme průměty Promítací přímky protínají průmětny v bodech, které nazýváme průměty. Průsečík promítací přímky s půdorysnou se nazývá půdorysný, anebo první průmět; průsečík promítací přímky s nárysnou se nazývá nárysný, anebo druhý průmět. Roviny, které jsou kolmé k promítacím rovinám, se nazývají promítací roviny.

Abychom získali oba průměty trojrozměrného útvaru v rovině listu papíru, musíme otočit jednu z průměten. Nárysna zůstane pevnou a půdorysnu otočíme okolo základnice y12 tak, aby splynula s nárysnou.

Promítání bodů Nechť je dán bod A trojrozměrného euklidovského prostoru. Bod A promítneme do půdorysny a do nárysny pomocí promítacích přímek. Průsečík promítací přímky, procházející bodem A, - s půdorysnou  označujeme A1 a nazýváme prvním průmětem bodu A; - s nárysnou  A2 druhým Přímky AA1 a AA2 jsou promítací přímky bodu A. Po otočení půdorysny  kolem základnice y12 do nárysny  leží průměty A1, A2 bodu A na přímce. Přímka A1A2 se nazývá ordinála a je vždy kolmá k základnici y12. Abychom mohli v Mongeově promítání zobrazit průměty bodů trojrozměrného euklidovského prostoru, musíme v něm definovat umístění souřadnicového systému. Uvažujme pravoúhlou soustavu souřadnic Oxyz, která je určena osami x, y, z se společným počátkem O a s týmiž jednotkami na osách. Označme půdorysnu jako rovinu, která obsahuje osy x, y souřadnicového systému, a nárysnu jako rovinu, která je určena osami y, z souřadnicového systému.

První průmět A1 bodu A leží ve vzdálenosti yA od počátku O12 ve směru osy y a ve vzdálenosti xA od základnice y12 ve směru osy x. Druhý průmět A2 bodu A leží opět ve vzdálenosti yA od počátku O12 ve směru osy y a ve vzdálenosti zA od základnice y12 ve směru osy z.

Příklad 1: Sestrojte průměty bodů A [10, 20, 30], B [-20, 40, 10], C [40, 60, -20].

Promítání přímek Průmětem přímky a do průmětny je přímka, je-li přímka a rovnoběžná nebo různoběžná s průmětnou, a bod, je-li přímka a kolmá k průmětně. Leží-li body A, B na přímce a, potom první (půdorysné) průměty A1, B1 bodů A, B leží na prvním (půdorysném) průmětu a1 přímky a. Analogie platí pro druhé průměty A2, B2 bodů A, B, tj. leží-li body A, B na přímce a, potom druhé (nárysné) průměty A2, B2 bodů A, B leží na druhém (nárysném) průmětu a2 přímky a.

Speciální polohy, které může přímka zaujímat vzhledem k průmětnám 1. Přímka a je rovnoběžná s oběma průmětnami

2. Přímka a je kolmá k nárysně a rovnoběžná s půdorysnou 3. Přímka a je kolmá k půdorysně a rovnoběžná s nárysnou

4. Přímka h je rovnoběžná s půdorysnou a různoběžná s nárysnou 4. Přímka h je rovnoběžná s půdorysnou a různoběžná s nárysnou. Je to tzv. hlavní přímka 1. osnovy a nazývá se horizontální přímka. 5. Přímka f je různoběžná s půdorysnou a rovnoběžná s nárysnou. Je to tzv. hlavní přímka 2. osnovy a nazývá se frontální přímka.

6. Přímka a je kolmá k základnici y12 a je různoběžná s oběma průmětnami (leží v rovině kolmé k základnici y12) Poznámka: V tomto případě neurčují průměty a1, a2 umístění přímky a v prostoru. K jejímu určení v prostoru musíme znát souřadnice dvou jejích bodů.

Stopníky přímky Průsečík přímky s průmětnou se nazývá stopník přímky. Průsečík přímky s půdorysnou se nazývá půdorysný stopník a označuje se písmenem P. Průsečík přímky s nárysnou se nazývá nárysný stopník a označuje se písmenem N. Půdorysný stopník leží v půdorysně, tj. skutečný bod P splývá se svým prvním průmětem (P ≡ P1) a z-ová souřadnice průmětu P2 je rovna nule. Z toho plyne, že průmět P2 musí ležet na základnici y12. Analogická situace platí pro nárysný stopník. Nárysný stopník leží v nárysně, tj. skutečný bod N splývá se svým druhým průmětem (N ≡ N2) a x-ová souřadnice průmětu N1 je rovna nule. Z toho plyne, že průmět N1 musí ležet na základnici y12.

Příklad 2: Sestrojte stopníky P, N daných dvou přímek a, b.

Promítání dvojice přímek 1. Promítání dvou rovnoběžných přímek a) Nejsou-li rovnoběžné přímky kolmé k průmětnám, jsou jejich průměty rovnoběžné. b) Jsou-li rovnoběžné přímky kolmé k průmětně, jsou jejich průměty v této průmětně body.

2. Promítání dvou různoběžných přímek a) Neleží-li dvě různoběžné přímky v rovině kolmé k některé z průměten, jsou průměty daných různoběžných přímek různoběžky. První a druhý průmět průsečíku přímek musí ležet na ordinále. b) Leží-li různoběžné přímky v rovině kolmé k nárysně, jejich druhé průměty splývají.

3. Promítání dvou mimoběžných přímek mimoběžné přímky nejsou navzájem rovnoběžné, ani se neprotínají; mimoběžné přímky neleží v jedné rovině; průsečíky průmětů dvou mimoběžných přímek a, b jsou reprezen-továny průměty dvou různých bodů A, B.

Promítání rovin Rovina je rovnou plochou vytvořenou pohybující se přímkou podél dvou různých rovnoběžných, anebo po dvou různoběžných přímkách. Rovina může být zadána: a) třemi body neležícími v jedné přímce; b) přímkou a bodem, který na dané přímce neleží; c) dvěmi různými rovnoběžnými přímkami; d) dvěmi různoběžnými přímkami. Není ohraničeným geometrickým útvarem, rozprostírá se do nekonečna ve všech směrech.

Stopy roviny Přímky, ve kterých rovina protíná průmětny, se nazývají stopy roviny. Průsečnice roviny α s půdorysnou se nazývá půdorysná stopa a označuje se pα. Průsečnice roviny α s nárysnou se nazývá nárysná stopa a označuje se nα. Protíná-li rovina α y-ovou osu, protínají se její půdorysná a nárysná stopa na ose y.

Roviny ve speciální poloze vzhledem k průmětnám 1) rovina je kolmá k půdorysně a rovnoběžná s nárysnou – promítací rovina 2) rovina je kolmá k nárysně a rovnoběžná s půdorysnou – promítací rovina

3) rovina je kolmá k půdorysně a různoběžná s nárysnou – promítací rovina 4) rovina je kolmá k nárysně a různoběžná s půdorysnou – promítací rovina

5) rovina je kolmá k oběma průmětnám – promítací rovina 6) rovina je různoběžná s oběma průmětnami a rovnoběžná s y-ovou osou

Zadání roviny pomocí souřadnic Nechť je rovina α zadána trojicí bodů A, B a C, z nichž každý leží na jiné souřadnicové ose. Nenulové souřadnice těchto bodů určují úseky na souřadnicových osách vyťaté rovinou α. Úseky a, b, c můžeme považovat za „souřadnice“ roviny α. Potom rovinu α lze zapsat pomocí souřadnic ve tvaru α (a, b, c).

Příklad 3: Sestrojte stopy rovin α (25, 17, 41), β (38, -12, 19), γ (+∞, -34, 16), δ (11, 44, + ∞).

Přímky v rovině 1. Obecná přímka v rovině Nechť je dána přímka a ležící v rovině α . Stopníky přímky a (pokud existují) leží na stopách roviny α. Přitom půdorysný stopník Pa přímky a leží na půdorysné stopě pα roviny α a nárysný stopník Na přímky a leží na nárysné stopě nα roviny α .

2. Hlavní přímky roviny Výše jsme zavedli označení pro tzv. hlavní přímky roviny. Horizontální (frontální) přímkou jsme nazvali takovou přímku, která je rovnoběžná s půdorysnou (nárysnou). Pokud v dané rovině existuje jedna taková přímka, existuje jich nekonečně mnoho a tvoří tzv. osnovu. Odtud se také někdy pro hlavní přímky používá označení hlavní přímka 1. osnovy (horizontální přímka) a hlavní přímka 2. osnovy (frontální přímka).

Horizontální hlavní přímky Pro horizontální přímky h roviny α platí, že jejich první průměty h1 jsou rovnoběžné s půdorysnou stopou roviny α. Přitom půdorysná stopa roviny α může být považována za speciální horizontální přímku roviny α. A pro druhé průměty h2 horizontálních přímek h roviny α platí, že jsou rovnoběžné se základnicí y12.

Frontální hlavní přímky Pro frontální přímky f roviny α platí, že jejich druhé průměty f2 jsou rovnoběžné s nárysnou stopou roviny α. Přitom nárysná stopa roviny α může být považována za speciální frontální přímku roviny α. A pro první průměty f1 frontálních přímek f roviny α platí, že jsou rovnoběžné se základnicí y12.

Příklad 4: Sestrojte stopy roviny dané dvěma různoběžnými přímkami a) α (a, b) b)  (h, f)

Příklad 5: Sestrojte stopy roviny  dané přímkou d a bodem C, který na přímce d neleží.

Nalezení chybějícího průmětu přímky v rovině 1. Rovina je zadána svými stopami Nechť je dán první průmět a1 přímky a v rovině . První průměty jejích stopníků sestrojíme následovně N1  a1  y12, P1  a1  p1. Potom nalezneme jejich druhé průměty na ordinálách a na nárysné stopě roviny  (N2), na základnici y12 (P2). Druhé průměty stopníků leží na druhém průmětu a2 přímky a.

Příklad 6: Najděte chybějící průmět a1 přímky a ležící v rovině .

2. Rovina je zadána dvěma různoběžnými přímkami Nechť je dán druhý průmět a2 přímky a v rovině . Přitom rovina  je dána dvěma různoběžnými přímkami b, c. Úkolem je doplnit chybějící průmět a1 přímky a v rovině . Označme průsečíky dané přímky a s přímkami b, c po řadě B, C. Potom můžeme najít jejich druhé průměty B2, C2 následovně B2  a2  b2, C2  a2  c2. První průměty B1, C1 bodů B, C leží na ordinálách procházejících průměty B2, C2 a na prvních průmětech b1, c1 přímek b, c. Hledaný chybějící průmět a1 přímky a je dán prvními průměty B1, C1 bodů B, C.

Příklad 7: Doplňte chybějící průmět přímky v rovině. a) b)

Nalezení chybějícího průmětu bodu v rovině 1. Rovina je zadána svými stopami Nechť je dán první průmět A1 bodu A ležícího v rovině  (pα, nα). Bodem A1 vedeme první průmět h1 horizontální přímky h rovnoběžně s půdorysnou stopou p1α roviny . Najdeme první průmět N1 nárysného stopníku horizontální přímky h jako průsečík přímky h1 a základnice y12. Potom druhý průmět N2 nárysného stopníku N je průsečík ordinály procházející bodem N1 s nárysnou stopou n2α roviny . Dále narýsujeme druhý průmět h2 horizontální přímky h rovnoběžně se základnicí y12 a procházejíce bodem N2. Druhý průmět A2 bodu A je průsečík ordinály procházející bodem A1 a přímky h2. Poznámka: K sestrojení chybějícího průmětu bodu lze užít jak hlavních přímek roviny, tak i jakékoli obecné přímky roviny.

Příklad 8: Sestrojte chybějící průmět A2 bodu A v rovině  (pα, nα).

2. Rovina je zadána dvěma různoběžnými přímkami Nechť je dán první průmět A1 bodu A v rovině , která je dána dvěma různoběžnými přímkami b, c. Úkolem je doplnit chybějící průmět A2 bodu A v rovině . Bodem A1 sestrojme libovolnou přímku a, různoběžnou s přímkami b, c a tudíž ležící v rovině . Označme průsečíky zvolené přímky a s přímkami b, c po řadě B, C. Potom můžeme najít jejich první průměty B1, C1 následovně B1  a1  b1, C1  a1  c1. Druhé průměty B2, C2 bodů B, C leží na ordinálách procházejících průměty B1, C1 a na druhých průmětech b2, c2 přímek b, c. Průměty B2, C2 určují druhý průmět a2 zvolené přímky a. Hledaný chybějící průmět A2 bodu A je průsečík druhého průmětu a2 přímky a a ordinály procházející průmětem A1.

Příklad 9: Sestrojte chybějící průmět bodu v dané rovině. a) B  β (b, c) b) C  γ (D, e)