6. ROZHODOVÁNÍ ZA NEJISTOTY Motivace: Máme na výběr ze dvou her založených na jednom hodu mincí. Pro kterou se rozhodnete (hraje se jen jednou)? Problémy: - neznáme s jistotou budoucnost, někdy ani (objektivní) pravděpodobnost (dále jen „pst“) - vliv individuality rozhodovatele - vztah k riziku (většinou odpor), subjektivní názor na budoucí vývoj (subjektivní pravděpodobnosti) Výhra (Kč) Líc Rub Hra č. 1 +2 -1 Hra č. 2 +2000 -1000

Rozhodování za nejistoty rozhodování za jistoty – všechny faktory známe jistě rozhodování za nejistoty – faktory náhodné, známe s větší či menší nejistotou za rizika – známe aspoň rozdělení pravděpodobností za neurčitosti – neznáme rozdělení, krajní nejistota

6.1 Subjektivní pravděpodobnosti objektivní − vyjadřuje míru výskytu nějakého jevu − z minulých (statistických) údajů, symetrie subjektivní − vyjadřuje míru osobního přesvědčení rozhodovatele ve výskyt nějakého jevu − stanovení různými odhady dle znalostí subjektu

Vyjádření subjektivních pravděpodobností číselné − přímé: 0 ≤ p ≤ 1 − poměr: m/n (m případů z n možných) − poměr sázek (šancí): p/q=p/1−p slovní − např. tabulkou (zcela vyloučeno − 0, krajně nepravděpodobné − 0,1 atp.)

Stanovení subjektivních pravděpodobností metoda relativních velikostí − nejprve se určí nejpravděpodobnější jevu (modus) − ostatní psti se vyjadřují relativně k psti modu metoda kvantilů − pro mnoho diskrétních hodnot i pro spojité veličiny − určujeme kvartily rozdělení metoda volby typu rozdělení pravděpodobnosti − různá běžná, co nejjednodušší rozdělení, diskrétní n. spojité veličiny

6.2 Pravděpodobnostní stromy Zobrazují v podobě grafu - stromu možnosti budoucího vývoje, jejich pravděpodobnosti a důsledky pro dané kritérium Rizikové situace znázorňujeme uzly (kroužky) a jejich možné výsledky hranami pravděpodobnostního stromu. Při počítání výsledných (nepodmíněných) pravděpodobností jednotlivých variant se užívá pravidlo násobení (podmíněných) pravděpodobností.

Příklad Podnik zvažuje zavedení nového výrobku. Náklady na_jeho vývoj jsou 5 mil. Kč a jeho úspěch 80 %, náklady na zahájení výroby 2 mil. Kč s pstí neúspěchu 10 %, náklady na uvedení na trh jsou 1 mil. Kč a zisk z_prodeje na trhu se očekává 10, 15, n. 20 mil. Kč s_pstmi 25, 50 a 25 %. Znázorněte možné scénáře - varianty budoucího vývoje pomocí pravděpodobnostního stromu a určete jejich pravděpodobnosti a zisky.

Řešení - pravděpodobnostní strom

Celkem tedy může v tomto případě nastat 5 možných scénářů A-E Celkem tedy může v tomto případě nastat 5 možných scénářů A-E. Jejich pravděpodobnost je dána součinem dílčích pravděpodobností (příslušných hran od kořene k větvím) a hodnota kritéria součtem jeho dílčích hodnot, např. výsledek C (úspěšný vývoj i výroba, ale nízký prodej) má pravděpodobnost: pC = 0,8 ∙ 0,9 ∙ 0,25 = 0,18 a hodnotu celkového zisku ZC = 10 − 1 − 2 − 5 = + 2 (mil. Kč)

Varianta Situace Zisk (MKč) Pravděpodobnost Výsledky analýzy můžeme shrnout do následující tabulky: Varianta Situace Zisk (MKč) Pravděpodobnost A Neúspěch vývoje -5 0,20 B Neúspěch výroby -7 0,08 C Nízká poptávka +2 0,18 D Průměrná poptávka +7 0,36 E Vysoká poptávka +12 Pak lze spočítat např. střední hodnotu zisku apod..: E(Z) = ∑ pizi = −5 ∙ 0,2 − … + 12 ∙ 0,18 = +3,48 (MKč)

7. ROZHODOVACÍ MATICE Příklad: Máme na výběr ze dvou her založených na jednom hodu mincí. Pro kterou se rozhodnete (hraje se jen jednou)? Často čelíme podobným rozhodnutím, navíc neznáme ani pravděpodobnosti „stavů světa“ (líc, rub). Výhra (Kč) Líc Rub Pravděpodobnost 0,5 Hra č. 1 +2 -1 Hra č. 2 +2000 -1000

Rozhodovací matice Pravděpodobnost Znázorňuje hodnotu kritéria rozhodování v závislosti na variantě rozhodování a stavech světa, tj. náhodných vzájemně se vylučujících možnostech budoucího vývoje, jejich pravděpodobnosti jsou většinou neznámé. Kritérium Stavy světa S1 S2 … Sn Pravděpodobnost p1 p2 pn Varianty rozhodnutí V1 z11 V2 Vm zmn

Pravidla rozhodování za neurčitosti Uvádíme pro kritérium výnosového typu, jinak obdobné. Pravidlo nedostatečného důvodu (Laplace) − předpokládáme, že všechny stavy světa jsou stejně možné (rovnoměrné rozdělení pstí) a rozhodujeme pomocí pravidla střední hodnoty: ∑j (1/n)zij = MAX! ∑j zij = MAX!

Příklad: Podnikatel se rozhoduje o variantách velikosti nového podniku, ale zisk závisí na neznámé velikosti poptávky podle následující tabulky: Určete optimální rozhodnutí podle Laplaceova aj. pravidla. Zisk zij (mil. Kč) Poptávka Podnik malá střední velká malý 50 150 velký -100 200

Pravidlo optimismu (MAXIMAX) − pro každé rozhodnutí předpokládáme, že nastane nejpříznivější situace, tzn. hledáme maximum v každém řádku a vybereme řádek s maximální hodnotou MAXj zij = MAX! − hledáme vlastně maximum celé matice − jedná se o extrémně optimistický přístup

Pravidlo pesimismu (mininax/maximin, Wald) − pro každé rozhodnutí předpokládáme, že nastane nejhorší situace, takže v každém řádku nalezneme minimum a volíme řádek s jeho maximální hodnotou minj zij = MAX! − jedná se o extrémně pesimistický přístup

α.MAXj zij + (1- α).minj zij = MAX! Pravidlo ukazatele optimismu (Hurwicz) − zobecňuje předchozí krajní pravidla pomocí ukazatele optimismu α, 0 ≤ α ≤ 1: α.MAXj zij + (1- α).minj zij = MAX! − pro α=100 % přechází na p. optimismu, pro α=0 % na p. pesimismu

Pravidlo minimaximální lítosti/ztráty (Savage) − pokud víme, jaká situace nastala, tak víme, jaké rozhodnutí by bylo nejlepší, rozdíl mezi jeho hodnotou a hodnotou našeho minulého rozhodnutí vyjadřuje jakousi ztrátu, lítost; chceme, aby byla co nejmenší (ochrana před těmi, kteří jsou „po bitvě generály“) − nejprve se vypočte matice ztrát (lítosti) tak, že pro každý prvek určíme rozdíl mezi příslušným sloupcovým maximem a tímto prvkem, a na ni aplikujeme princip pesimismu (minimax, jedná se o kritérium nákladového typu): sij = zij − MAXi zij MAXj sij = min!

Úloha: Vydavatel časopisu se rozhoduje o velikosti jeho nákladu - zvažuje 3 varianty: 20, 30 a 40 tis. výtisků měsíčně. Prodej je nejistý, předpokládá se také 20, 30 anebo 40 tis. ks za měsíc. Měsíční fixní náklady výroby jsou 1 mil. Kč, variabilní náklady na jeden výtisk jsou 50 Kč/ks a jeho prodejní cena 100 Kč/ks. Vydavatel se rozhoduje na základě zisku, neprodané časopisy nepřinášejí žádné dodatečné náklady ani výnosy. Sestavte rozhodovací matici a najděte optimální rozhodnutí pomocí všech známých pravidel rozhodování za neurčitosti.

Řešení: Zisk [tis. Kč/měs] Odbyt 20 30 40 Laplace MAXI MAX MAXImin Hurwicz (α=0,6) Tisk 20 -500 500 167 100 -1000 1000 200 Lítost S [tis. Kč/měs] Odbyt 20 30 40 mini MAX Tisk 20 500 1000

8. ROZHODOVACÍ STROMY nástroj pro víceetapové rozhodování za nejistoty, zahrnují více navazujících rozhodnutí zobecňují rozhodovací matice i pravděpodobnostní stromy, varianty neznámého budoucího vývoje se znázorňují (stejně jako u pravděpodobnostních stromů) pomocí tzv. situačních uzlů (kroužky), rozhodování pomocí tzv. rozhodovacích uzlů (čtverce) rozhodovací strom se vyhodnocuje od konce (zezadu, zprava, od větví), situační uzly se v nejjednodušším případě nahrazují střední hodnotou kritéria a podle ní se rozhodujeme v_rozhodovacích uzlech výsledkem je výchozí rozhodnutí na počátku (ostatní rozhodnutí se mohou změnit podle budoucího vývoje)

Příklad Vedení podnik rozhoduje, jestli 1000 ks dané součásti vyrobit anebo dovézt (za cenu 2000 Kč/ks). Výroba vyžaduje jednorázovou investici ve výši 1 mil. Kč, a v případě jejího úspěchu (pravděpodobnost je odhadnuta na 80 %) budou variabilní náklady činit jen 600 Kč/ks. Při neúspěchu výroby nelze investici využít jinak a je nutno součást koupit, hrozí však zvýšení ceny na 2200 Kč/ks vlivem změny devizového kurzu (s_pravděpodobností 50 %). Znázorněte rozhodovací problém pomocí rozhodovacího stromu a najděte optimální rozhodnutí pomocí pravidla střední hodnoty.

Řešení

Postup Postupujeme od konce, situačního uzlu týkajícího se kurzu – střední hodnota ceny je (2000+2200)/2=2100 (Kč/j). Touto hodnotou situační uzel vlastně nahradíme a postupujeme dál k_uzlu týkajícího se úspěchu výrobní investice. Střední hodnota nákladů je 0,8∙600+0,2∙2100=900 (Kč/j). Po přičtení průměrných fixních nákladů 1000 Kč/j dostáváme hodnotu 1900 Kč/j a v_rozhodovacím uzlu volíme mezi touto hodnotou a cenou 2000_Kč/j v případě nákupu, takže volíme v průměru levnější (ale rizikovější) variantu investovat.