Fraktály (za 10 bilionů dolarů)

Cesta k Fraktálům I Řekněme, že sestrojím kyvadlo, které se zhoupne jednou za den a nechám ho kývat celý měsíc. Vlivem odporu vzduchu se jeho amplituda bude zvolna zmenšovat. Výsledný graf polohy kyvadla (tedy jeho vzdálenosti od rovnovážné polohy) v závislosti na čase bude vypadat takto:

Cesta k Fraktálům II Teď vám ukážu čtyři různé výřezy z tohoto grafu a řeknu vám, že jeden ukazuje pohyb kyvadla během celého měsíce, druhý během jednoho týdne, třetí během jednoho dne, a čtvrtý během dvou hodin. Jistě nebudete mít problém říct, který obrázek je který, a dokážete je dokonce bez problémů do sebe zařadit.

1 měsíc 1 týden 1 den 2 hodiny

Cesta k Fraktálům III Takto by to fungovalo pro grafy mnoha různých reálných procesů, například průběh teploty před vaším domem, vzdálenost Země od Slunce, polohu auta, kterým dojíždíte do práce, …

U Fraktálů doma I Teď si vezměte jinou časovou řadu, taky měsíční (z ledna 2011), tentokrát kurz australského dolaru ke kanadskému dolaru na americké burze. Kurz je sledován přibližně každých pět vteřin. Zdroj dat: Gaincapital

U Fraktálů doma II Zase vám ukážu čtyři různé výřezy z tohoto grafu a řeknu vám, že jeden ukazuje pohyb kurzu během celého měsíce, druhý během jednoho týdne, třetí během jednoho dne, a čtvrtý během dvou hodin.

U Fraktálů doma III Pokud budete chtít vědět, který obrázek je který, budete s tím mít překvapivě velké potíže. Tak vám to prozradím:

1 měsíc 1 týden 1 den 2 hodiny

U Fraktálů doma IV Právě jste si ověřili, že tato časová řada vykazuje takzvanou samo-podobnost, tedy její menší části jsou (k nerozeznání) podobné větším. Na rozdíl od záznamu kyvadla, tato časová řada nemá žádné charakteristické měřítko, které by umožnilo rozeznat kratší úseky od delších.

Návštěva u Mandelbrotů Fenoménu samo-podobnosti, který vykazuje mnoho časových řad ekonomických ukazatelů, si všiml už v šedesátých letech Benoit Mandelbrot a ukázal, že z toho plynou závažné důsledky pro možnost předpovídat, jak se takové řady budou vyvíjet. Zdroj obrázku: wikipedia

Je matematika důležitá? Většina ekonomů ovšem jeho pozorování zcela ignorovala a dále počítala riziko výkyvů v ekonomických řadách, jako kdyby šlo o kyvadlo z našeho prvního příkladu. Důsledkem byla katastrofální finanční krize z roku 2008, která nás už stála asi 10 bilionů dolarů (to je jednička a dvanáct nul!), z jejíhož důsledku jsme se dodnes nevzpamatovali (a ještě dlouho nevzpamatujeme). A pak že matematika není důležitá...

Je matematika použitelná? Je nutno poznamenat, že jsou i čestné výjimky, které si Mandelbrotových výsledků včas všimly. Mezi nejznámější patří Nicolas Nassim Taleb, který na neschopnosti mainstreamových ekonomů pochopit, co se děje, vydělal docela slušné peníze. Zdroj obrázku: wikipedia A pak že matematika není použitelná...

Kde najít víc Pokud si o tom chcete přečíst víc, podívejte se na: Časopis Wired: Recipe for Disaster: The Formula That Killed Wall Street Článek Benoita Mandelbrota: How Fractals Can Explain What's Wrong with Wall Street Scientific American, February 1999 Kniha Nassima Taleba: The Black Swan … kdo čte jen česky, má smůlu

Kochova vločka Zamysleme se ale nad tím, jak vlastně můžou vzniknout samo-podobné útvary, jejichž části se podobají celku. Nejznámějším z těchto útvarů je Kochova vločka.

Vznik Kochovy vločky Začneme s rovnostranným trojúhelníkem. Z každé jeho strany umažeme prostřední třetinu a postavíme nad ní rovnostranný trojúhelník. Z každé strany vzniklé šesticípé hvězdy umažeme prostřední třetinu a postavíme nad ní rovnostranný trojúhelník. Z každé strany vzniklého útvaru umažeme prostřední třetinu a postavíme nad ní rovnostranný trojúhelník. A tak pokračujeme pořád dál a dál… Zdroj obrázku: ecademy

Kochova vločka jako živá I Výsledná množina je úžasně složitá, ačkoliv vznikla neustálým opakováním poměrně jednoduchého pravidla. Je krásná a připomíná sněhovou vločku. Zdroj animace: wikipedia

Kochova vločka jako živá II Následující animace výborně ilustruje samo-podobnost Kochovy vločky Zdroj animace: wikipedia

Fraktály Pro takové objekty vymyslel Benoit Mandelbrot jméno, začal jim říkat fraktály zdroj obrázku: wikipedia

Souvisí fraktály s matematikou? Zatím to vypadá, že fraktály jsou jen nějaké zajímavé obrázky, ale není vůbec jasné, jestli nějak souvisejí s matematikou. To je ale jen zdání – ve skutečnosti se fraktály vynořují z překvapivě jednoduchých rovnic.

Komplexní čísla Pokud víte, co jsou komplexní čísla a jak se sčítají a umocňují, následující část klidně přeskočte. Jinak dávejte pozor: Komplexní číslo je krycí jméno pro šipečku v rovině vedoucí z počátku (bod 0,0 ) do nějakého bodu (třeba 𝑎,𝑏 ).

Sčítání komplexních čísel Sčítat dvě šipečky je jednoduché: nalepíte druhou na konec té první. Je to stejné, jako kdybyste sčítali po složkách, tedy 𝑎,𝑏 + 𝑐,𝑑 = 𝑎+𝑐,𝑏+𝑑 .

Umocňování komplexních čísel Každá šipečka má nějakou velikost (té říkáme ρ) a nějaký úhel (tomu říkáme ϕ). Umocnit šipečku na druhou znamená umocnit její velikost na druhou a zvětšit úhel na dvojnásobek. Umocnit šipečku na třetí znamená umocnit její velikost na třetí a zvětšit úhel na trojnásobek. A tak dál pro jakoukoliv přirozenou mocninu.

Jak na komplexní čísla I Teď víte o komplexních číslech vše, co budete potřebovat. Pojďme si to vyzkoušet: Vezmeme šipečku 1,1 a umocníme ji na druhou. K výsledku přičteme 1,1 a zase to umocníme na druhou. A tak dál, a tak dál... Dostaneme postupně šipečky 1,1 , 1,3 , −7,7 , 1,−97 , ... Vyzkoušejte si to. Velikost výsledků se rychle zvětšuje a konec šipečky prchá k nekonečnu.

Jak na komplexní čísla II Vyzkoušejme si to znovu na jiné šipečce. Vezmeme šipečku − 1 2 , 1 2 a umocníme ji na druhou. K výsledku přičteme − 1 2 , 1 2 a zase to umocníme na druhou. A tak dál... Tentokrát jsou výsledné šipečky pořád omezené velikosti, pěkně si hrají kolem počátku a dokonce jejich koncové body (označené hvězdičkami) tvoří pěkný obrázek.

Fraktál snadno a rychle Matematicky bychom naši předchozí početní hru s šipečkami mohli vyjádřit pomocí rovnice 𝒛 𝒏+𝟏 = 𝒛 𝒏 𝟐 +𝒄 𝑐 je nějaká šipečka (my jsme vyzkoušeli 𝑐= 1,1 a 𝑐= −1 2 , 1 2 ) 𝑧 𝑛+1 je výsledek po (𝑛+1) krocích 𝑧 𝑛 je výsledek po 𝑛 krocích a začínáme vždy se 𝑧 0 = 0,0

Mandelbrotova množina Teď si představte, že bychom takto prozkoumali všechny možné hodnoty 𝑐 černě bychom obarvili vrcholy těch šipeček 𝑐, pro které zůstanou hodnoty 𝑧 𝑛 ve všech krocích omezené, jako třeba v případě 𝑐= − 1 2 , 1 2 bíle bychom obarvili ty, které utečou k nekonečnu, jako třeba 𝑐= 1,1 Výsledná černobílá množina se taky jmenuje po Mandelbrotovi

To je ona:

Mandelbrotova množina II Mandelbrotova množina je asi nejslavnější fraktál na světě a má mnoho úžasných vlastností. Čím blíž se na ni díváte, tím víc neuvěřitelných detailů nacházíte. Prohlédněte si pár následujících obrázků z wikipedie, které postupně odhalují jemnější a jemnější detaily Mandelbrotovy množiny.

Hrátky s fraktály Jak vás jednou fraktály zaujmou, už se od nich neodtrhnete. Stáhněte si třeba zkušební verzi prográmku UltraFractal a pohrajte si. Nebo se aspoň podívejte na videoprůzkum Mandelbrotovy množiny. Na webu najdete tisíce krásných obrázků fraktálů i mnoho výukových, popularizačních i odborných textů.

Obrázky jsou sice hezké, ale jaké z toho všeho plyne poučení?

Poučení 1: Svět je jednodušší, než se zdá. Strašně komplikovaný a úžasně uspořádaný systém plný různých pravidelností, vzorů a struktur na všech možných úrovních může být produktem úplně jednoduchého pravidla. Jen ho najít. Tušili byste, že za celou nekonečnou složitostí Mandelbrotovy množiny je pouze jediná kraťoučká rovnice 𝑧 𝑛+1 = 𝑧 𝑛 2 +𝑐, kdybych vám ji neukázal?

Poučení 2: Svět je složitější, než se zdá. I úplně jednoduchá pravidla mohou vést ke zdánlivě nekonečně složitému chování a přesná znalost těchto pravidel nám nemusí nijak přispět k porozumění, vysvětlení a předvídání toho, jak se systém vlastně bude chovat. Tušili byste, že v rovnici 𝑧 𝑛+1 = 𝑧 𝑛 2 +𝑐 je někde schovaný obrázek mořského koníka?

Fraktály jsou všude kolem nás … … stačí se jen dívat.