Základy infinitezimálního počtu Základní vlastnosti funkcí

Základy infinitezimálního počtu ÚVOD Diferenciální a integrální počet nazýváme společným názvem infinitezimální (nekonečně malý) – byl svými zakladateli Isaacem Newtonem a Wilhelmem Leibnizem zaveden na nekonečně malých veličinách. Patří mezi oblasti matematické analýzy, která je jednou ze základních disciplín matematiky. Je to matematická disciplína, která zkoumá změny funkčních hodnot v závislosti na změně nezávislé proměnné.

Funkce - základní pojmy Připomeneme si co již o funkcích víme: Nechť D je neprázdná množina reálných čísel Teď již definujeme funkci jedné reálné proměnné: Přiřadíme-li každému číslu x z množiny D právě jedno reálné číslo y, dostaneme množinu f uspořádaných dvojic [x;y] reálných čísel, která se nazývá reálná funkce reálné proměnné x. Funkce na množině D  R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. Množinu D všech hodnot proměnné x (argument funkce) nazýváme definiční obor funkce, značíme Df, D(f). Například Mějme množinu D = {-5;-4;-3;-2;….4;5} Každému prvku množiny D přiřadíme jeho dvojnásobek z množiny reálných čísel a vzniklou množinu uspořádaných dvojic zobrazíme v kartézské soustavě souřadnic R Číslo y přiřazené číslu x se nazývá hodnota funkce f v bodě x Každému prvku množiny D bylo přiřazeno právě jedno reálné číslo Množinu všech hodnot funkce f nazýváme obor funkčních hodnot funkce a značíme Hf, H(f). D

Funkce – základní vlastnosti Funkce f se nazývá sudá, právě když platí 1. x Df; -x  Df 2. x Df; f(x) = f(-x) Funkce f a g se rovnají , právě když Df = Dg x Df: f(x) = g(x) Například: Funkce f se nazývá lichá, právě když platí 1. x Df; -x  Df 2. x Df; f(-x) = -f(x) Jsou dány funkce f: y = x2 a g: y = x2. Df = R  Dg = R x  R: x2 = x2  f = g f(-1) = -f(1) y = x2 y = x2 Graf souměrný podle průsečíku os Graf souměrný podle osy y f(-2) = f(2)

Funkce – další vlastnosti Funkce prostá: Nechť x  Df. funkce f se nazývá prostá, právě když pro každé dva prvky x1; x2 platí: x1 x2  f(x1)  f(x2) Rostoucí funkce: Nechť x  Df. funkce f se nazývá rostoucí, právě když pro každé dva prvky x1; x2 platí x1 < x2  f(x1) < f(x2) Klesající funkce: Nechť x  Df. Funkce f se nazývá klesající, právě když pro každé dva prvky x1; x2 platí x1 < x2  f(x1) > f(x2) Složená funkce: Říkáme, že funkce h je složená z funkcí f a g, právě když platí: Dh = {xDf; f(x)Dg} a xDh je h(x) = g(f(x))

Funkce příklady k procvičení Úvodní pokyny: Než začnete úlohu řešit, pozorně si přečtete zadání úlohy. Průběh grafu funkce kreslete tužkou. Snažte se o maximální přesnost. Načrtněte graf funkce f(x), víte-li, že, 𝐷 𝑓 = −4; −0,5 ∪ 0,5;5 , f(-4) = 2. Průsečíky grafu funkce f s osou x jsou v bodech P1[-2;0], P2[2;0]. V intervalu −4 ;−0,5) je funkce f klesající a je omezená zdola číslem d = -3. V intervalu −4 ;−0,5)  (0,5; 4 je funkce f sudá. V intervalu 4 ; 5 je funkce f konstantní. Z grafu určete obor funkčních hodnot funkce f. Je funkce f omezená shora v definičním oboru? Určete maximum funkce f v definičním oboru. Je funkce f prostá v definičním oboru? Určete alespoň jeden interval, ve kterém je funkce f prostá. Zobraz postup řešení

Funkce příklady k procvičení Rozhodněte [ano; ne], zda se rovnají funkce f a g: f: 𝑦 = 1 , g: 𝑦= 𝑥 𝑥 , f: 𝑦 = 𝑥 𝑥 , g: 𝑦= 𝑥 𝑥 . Rozhodněte, zda dané funkce jsou sudé nebo liché f: 𝑦= 𝑥 3 +2𝑥 𝑥 f: 𝑦= 2𝑥 2 𝑥 + 𝑥 2 Zobraz postup řešení Zobraz postup řešení

Funkce shrnutí 1 Zopakovali jsme si definici funkce, základní vlastnosti funkcí jako je rovnost funkcí, sudá funkce, lichá funkce a další vlastnosti funkcí - funkce prostá, klesající, rostoucí. Další úlohy k procvičení: V příští kapitole si připomeneme elementární funkce a jejich vlastnosti.

Použitá literatura Přehled užité matematiky, Karel Rektorys a spolupracovníci Přehled středoškolské matematiky, Josef Polák Matematika pro gymnázia – Funkce, Doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc. Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet, RNDr. Dag Hrubý, RNDr. Josef Kubát Matematika – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, RNDr. Jindra Petáková