Střední škola obchodně technická s. r. o. Název školy Střední škola obchodně technická s. r. o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0624 Číslo a název klíčové aktivity 3.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název DUM: VY_32_INOVACE_III_2_14_Analytická geometrie V. – odchylka dvou různoběžných přímek Šablona číslo: III Sada číslo: 2 Pořadové číslo DUM: 14 Autor: PaedDr. Mgr. Libuše Ďurišová

Anotace Materiál seznamuje žáky s výpočtem odchylky dvou různoběžných přímek v rovině. Autor PaedDr. Mgr. Libuše Ďurišová Klíčová slova přímka, rovnice přímky, různoběžné přímky, odchylka Druh učebního materiálu Prezentace Cílová skupina Žák Stupeň a typ vzdělávání Střední odborné vzdělávání Tematická oblast Matematika Kompetence Žák aktivně ovládá analytické vyjádření přímky parametrickou, obecnou a směrnicovou rovnicí přímky, umí tyto rovnice vzájemně převádět, umí řešit úlohy vyžadující určení společných bodů dvou přímek, umí určit odchylku dvou různoběžných přímek v rovině při různých způsobech jejich zadání.

ANALYTICKÁ GEOMETRIE IV. odchylka dvou přímek v rovině

Odchylka dvou různoběžných přímek Definice: Odchylka dvou různých různoběžných přímek je velikost každého z ostrých úhlů, které přímky spolu svírají. Je-li odchylka dvou různých různoběžných přímek 90°, pak jsou tyto přímky na sebe kolmé. Odchylku různoběžných přímek lze vypočítat pouze tehdy, jsou-li známy jejich směrové nebo normálové vektory.

Směrové a normálové vektory různoběžných přímek Směrové vektory: Normálové vektory:

Výpočet odchylky dvou různoběžných přímek Vztah pro výpočet odchylky přímek se skládá z absolutní hodnoty skalárního součinu vektorů v čitateli a součinu velikostí vektorů ve jmenovateli. cos ϕ = |𝒖.𝒗| 𝒖 . |𝒗| = |u1v1 + u2v2| u1 2 + u2 2 v1 2 + v2 2

cos ϕ = |a1a2 + b1b2| (a1 2 + a2 2 ) (b1 2 + b2 2 ) Jsou-li přímky p; q v rovině zadány obecnými rovnicemi p: a1x + b1y + c1 = 0; q: a2x + b2y + c2 = 0, potom pro jejich odchylku platí: cos ϕ = |a1a2 + b1b2| (a1 2 + a2 2 ) (b1 2 + b2 2 )

Různoběžné přímky dané směrnicovou rovnicí Jsou-li přímky p: y = k1x + q1 a q: y = k2x + q2 dány ve směrnicovém tvaru, pak pro výpočet jejich odchylky platí: tgϕ = | 𝑘 1 − 𝑘 2 1+ 𝑘 1 𝑘 2 | Jestliže 𝑘 1 𝑘 2 = -1, potom ϕ = 90°. To znamená, že přímky jsou na sebe kolmé.

Zdroje: [1] KONČEL, Jan. Využití internetu ve výuce analytické geometrie na střední škole. Diplomová práce. [online]. ©2009. [cit. 2013-10-06]. Dostupné z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnaRovnice [2] Odchylka přímek a vektorů. [online]. ©2012. [cit. 2013-10-06]. Dostupné z: http://www.aristoteles.cz/matematika/analyticka_geometrie/primka/odchylka-primek-a-vektoru.php [3] VOŠICKÝ Zdeněk. Matematika v kostce. 2. vyd. Havlíčkův Brod: Fragment, 1977. 124 s. ISBN 80-7200-012-8.