Dynamické systémy Topologická klasifikace Ing. Jaroslav Jíra, CSc.

Další základní pojmy Oblast (bazén) atrakce je taková oblast ve stavovém prostoru, kde systém pro všechny počáteční podmínky konverguje ke stejnému stavu, např. pevnému bodu, limitnímu cyklu nebo jinému atraktoru. Trajektorie zobrazují, jakým způsobem se budou v čase měnit stavové proměnné systému pro určité počáteční podmínky a ukazují konvergenci např. k pevnému bodu, limitnímu cyklu nebo jinému atraktoru. Tok dynamického systému je vyjádřením trajektorie nebo svazku trajektorií ve stavovém prostoru, tzn. vyjádřením změny proměnných v čase. Nulové linie (nullclines) jsou čáry ve fázovém portrétu, na nichž je časová derivace jedné ze stavových proměnných rovna nule. Separatrix je hranice oddělující dva různé způsoby chování dynamického systému. Ve dvourozměrných případech je to křivka oddělující dva bazény atrakce.

Netlumené kyvadlo Diferenciální rovnice Převedeno na soustavu dvou rovnic 1. řádu

Výstup z programu Mathematica Fázový portrét netlumeného kyvadla Použité rovnice

Netlumené kyvadlo pro různé počáteční podmínky Stabilní pevný bod φ0=0° φ0=45° φ0=90° φ0=135° Nestabilní pevný bod φ0=180° φ0=170° φ0=190° φ0=220°

Tlumené kyvadlo Diferenciální rovnice Převedeno na soustavu dvou rovnic 1. řádu Rovnice v Mathematice: NDSolve[{x'[t] == y[t], y'[t] == -.2 y[t] - .26 Sin[x[t]], … a fázové portréty

Tlumené kyvadlo komentovaný fázový portrét Určení nulové linie: V průsečících nulových čar se nacházejí pevné body. flow = tok, stable/unstable manifold = stabilní/nestabilní rozvětvení, stable/unstable fixed point = stabilní/nestabilní pevný bod

Tlumené kyvadlo simulace

Klasifikace stability dynamických systémů Jednorozměrné lineární nebo linearizované systémy Typ systému Derivace v x~ Pevný bod je Spojitý f’(x~)<0 stabilní f’(x~)>0 nestabilní f’(x~)=0 nelze rozhodnout Diskrétní |f’(x~)|<1 |f’(x~)|>1 |f’(x~)|=1

Demonstrace na příkladu baktérií Rovnice množení baktérií Derivace f(x) 1. pevný bod - nestabilní 2. pevný bod - stabilní

Klasifikace dynamických systémů Dvourozměrné lineární nebo linearizované systémy Soustava rovnic pro 2D systém Jacobiho matice pro 2D systém Výpočet vlastních čísel Výpočet pomocí stopy a determinantu matice

Typy dvourozměrných lineárních systémů 1. Stabilní uzel Rovnice Jacobiho matice Vlastní čísla λ1= -1 λ2= -4 Vlastní vektory Řešení v Mathematice Závěr: jedná se o stabilní pevný bod, stabilní uzel

Rychlý náhled pomocí funkce Vectorplot v Mathematice

Význam vlastního vektoru na příkladu modifikovaného stabilního uzlu Rovnice Jacobiho matice Vlastní čísla λ1= -3.62 λ2= -1.38 Vlastní vektory Směry vlastních vektorů jsou na obrázku černě zvýrazněny

2. Nestabilní uzel Rovnice Jacobiho matice Vlastní čísla λ1= 1 λ2= 4 Vlastní vektory Řešení v Mathematice Závěr: jedná se o nestabilní pevný bod, nestabilní uzel

3. Sedlo Rovnice Jacobiho matice Vlastní čísla Vlastní vektory λ1= -1 λ2= 4 Vlastní vektory Řešení v Mathematice Závěr: jedná se o nestabilní pevný bod, sedlo

4. Nestabilní ohnisko Rovnice Jacobiho matice Vlastní čísla Vlastní vektory Řešení v Mathematice Závěr: jedná se o nestabilní pevný bod, the nestabilní ohnisko

5. Stabilní ohnisko Rovnice Jacobiho matice Vlastní čísla Vlastní vektory Řešení v Mathematice Závěr: jedná se o stabilní pevný bod, the stabilní ohnisko

6. Střed Rovnice Jacobiho matice Vlastní čísla Vlastní vektory Řešení v Mathematice Závěr: jedná se o neutrálně stabilní pevný bod, střed

Přehledný souhrn všech základních typů 2D dynamických systémů klasifikovaných podle vlastních čísel

Zvláštní případy pro identická vlastní čísla Stabilní hvězda (stabilní pravý uzel) Rovnice a matice Vlastní čísla + vektory Řešení Nestabilní hvězda (nestabilní pravý uzel) Rovnice a matice Vlastní čísla + vektory Řešení

Zvláštní případy pro identická vlastní čísla Stabilní nepravý uzel, jeden vlastní vektor Rovnice a matice Vlastní čísla + vektory Řešení Nestabilní nepravý uzel, jeden vlastní vektor Rovnice a matice Vlastní čísla + vektory Řešení

Klasifikace dynamických systémů pomocí stopy a determinantu Jacobiho matice 1. Stabilní uzel p=-5; q=4; Δ=9 2. Nestabilní uzel p=5; q=4; Δ=9 3. Sedlo p=3; q=-4; Δ=25 4. Nestabilní ohnisko p=2; q=5; Δ=-16 5. Stabilní ohnisko p=-2; q=5; Δ=-16 6. Střed p=0; q=5; Δ=-20 7. Stabilní/nestabilní hvězda p=-/+ 2; q=1; Δ=0 8. Stabilní/nestabilní nepravý uzel

Různé konfigurace tlumeného oscilátoru Pohybová rovnice Přepis na soustavu rovnic 1. řádu Přetlumený oscilátor, δ=2 s-1, ω=1 s-1 Stabilní uzel Podtlumený oscilátor, δ=1 s-1, ω=2 s-1 Stabilní ohnisko Kriticky tlumený oscilátor, δ=1 s-1, ω=1 s-1 Stabilní nepravý uzel Netlumený oscilátor, δ=0 s-1, ω=1 s-1 Střed

Příklad – výpočet sedlového bodu v Mathematice

Klasifikace stability dynamických systémů Vícerozměrné lineární nebo linearizované systémy Typ systému Vlastní čísla Pevný bod je spojitý všechny Re(λ)<0 Stabilní některé Re(λ)>0 Nestabilní všechny Re(λ)<=0 některé Re(λ)=0 Nelze rozhodnout diskrétní všechny |λ|<1 některé |λ|>1 všechny |λ|<=1 některé |λ|=1

Základní typy 3D systémů Uzel – všechna vlastní čísla jsou reálná a stejného znaménka Stabilní uzel – všechna vlastní čísla jsou záporná λ1< λ2< λ3< 0 Nestabilní uzel – všechna vlastní čísla jsou kladná λ1> λ2> λ3> 0

Základní typy 3D systémů Sedlo – všechna vlastní čísla jsou reálná, nejméně jedno je kladné a nejméně jedno záporné. Sedlo je vždy nestabilní. λ1< λ2< 0 < λ3 λ1 > λ2 > 0 > λ3

Základní typy 3D systémů Ohnisko-uzel – jedno vlastní číslo je reálné, druhá dvě jsou komplexně sdružená. Reálné vlastní číslo a reálné části komplexně sdružených mají stejné znaménko. Stabilní ohnisko-uzel – reálné části všech vlastních čísel jsou záporné Re(λ1)<Re(λ2)<Re(λ3)<0 Nestabilní ohnisko-uzel – reálné části všech vlastních čísel jsou kladné Re(λ1)>Re(λ2)>Re(λ3)>0

Základní typy 3D systémů Sedlo-ohnisko – jedno vlastní číslo je reálné, druhá dvě jsou komplexně sdružená. Reálné vlastní číslo má opačné znaménko než reálné části komplexně sdružených vlastních čísel. Sedlo-ohnisko je vždy nestabilní. Re(λ1)> Re(λ2) > 0 > λ3 Re(λ1) < Re(λ2) < 0 < λ3