Obchodní akademie, Střední odborná škola a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Hradec Králové Autor: Mgr. Lenka Marková Název materiálu: VY_32_INOVACE_1_ROVNICE_07 Lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Téma sady: Rovnice Obor, ročník: Ekonomické lyceum a obchodní akademie, 1.,3. a 4. ročník Datum vytvoření: únor 2013 Anotace: Řešení lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou metodou intervalů Metodický obsah: Výklad nového učiva, příklady na procvičení, ve vyšších ročnících k opakování učiva. Prezentace je určena jako podklad pro výklad v hodině, ale i k samostudiu formou e-learningu.

Lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Při řešení těchto rovnic a nerovnic vycházíme z definice absolutní hodnoty: 𝑝𝑟𝑜 𝑎≥0 𝑗𝑒 𝑎 =𝑎 𝑛𝑎𝑝ř. 3 =3 𝑝𝑟𝑜 𝑎<0 𝑗𝑒 𝑎 =−𝑎 𝑛𝑎𝑝ř. −3 =− −3 =3 Metoda, kterou užíváme, se nazývá metoda intervalů. Tyto intervaly vyplývají z tzv. nulových bodů. nulový bod = číslo, pro které výraz v absolutní hodnotě nabývá hodnoty 0. 𝑛𝑎𝑝ř. 𝑥−1 𝑛𝑢𝑙𝑜𝑣ý 𝑏𝑜𝑑 𝑥=1

A) Lineární rovnice s absolutní hodnotou Př. 1 Řešte v ℛ: 2𝑥−4 =𝑥+2 Anulováním výrazu v absolutní hodnotě dostaneme „nulový bod“, pomocí kterého rozdělíme číselnou osu na jednotlivé intervaly: 2𝑥−4=0 𝐼 1 = −∞;2 𝐼 2 = 2; ∞ 2 𝑥=2 𝑛𝑢𝑙𝑜𝑣ý 𝑏𝑜𝑑 do druhého intervalu nulový bod zařadím do jednoho intervalu nulový bod nezařadím

Jednotlivá řešení sjednotíme a dostaneme výsledek: 𝒦= 𝒦 1 ∪ 𝒦 2 Na základě definice absolutní hodnoty odstraníme absolutní hodnoty v jednotlivých intervalech a rovnice v nich vyřešíme: Jednotlivá řešení sjednotíme a dostaneme výsledek: 𝒦= 𝒦 1 ∪ 𝒦 2 𝒦= 2 3 ;6 𝐼 1 = −∞;2 𝐼 2 = 2; ∞ 2𝑥−4 − 2𝑥−4 2𝑥−4 2𝑥−4 =𝑥+2 − 2𝑥−4 =𝑥+2 2𝑥−4=𝑥+2 −2𝑥+4=𝑥+2 𝑛𝑢𝑙𝑜𝑣ý 𝑏𝑜𝑑 po dosazení libovolného čísla z 𝐼 2 (kromě nulového bodu) dostávám kladný výsledek, a proto před kulatou závorku píšu pomyslné + −3𝑥=−2 po dosazení libovolného čísla z 𝐼 1 dostávám záporný výsledek, a proto před kulatou závorku píšu - 𝑥= 2 3 𝑥=6 𝒦 1 = 2 3 𝒦 2 = 6 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 6∈ 𝐼 2 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 2 3 ∈ 𝐼 1

𝑛𝑢𝑙𝑜𝑣é 𝑏𝑜𝑑𝑦 𝑝𝑟𝑜 𝑑𝑎𝑛é 𝑣ý𝑟𝑎𝑧𝑦 Př. 2 Řešte v ℛ: 𝑥+2 + 𝑥−1 = 3 nulové body: -2 1 𝑥=−2, 𝑥=1 𝐼 1 =(−∞;−2) 𝐼 2 = −2 ;1) 𝐼 3 = 1 ;+∞) 𝐼 1 =(−∞;−2) 𝐼 2 = −2 ;1) 𝐼 3 = 1 ;+∞) 𝑥+2 −(𝑥+2) (𝑥+2) (𝑥+2) 𝑥−1 − 𝑥−1 − 𝑥−1 𝑥−1 − 𝑥+2 − 𝑥−1 =3 𝑛𝑢𝑙𝑜𝑣é 𝑏𝑜𝑑𝑦 𝑝𝑟𝑜 𝑑𝑎𝑛é 𝑣ý𝑟𝑎𝑧𝑦 𝑣 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑛í ℎ𝑜𝑑𝑛𝑜𝑡ě 𝑥+2 − 𝑥−1 =3 𝑥+2 + 𝑥−1 =3 −𝑥−2−𝑥+1=3 𝑥+2−𝑥+1=3 𝑥+2+𝑥−1=3 +- dá - ++ dá + 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑟𝑜𝑣𝑛𝑖𝑐𝑒 𝑚á 𝑛𝑒𝑘𝑜𝑛𝑒č𝑛ě 𝑚𝑛𝑜ℎ𝑜 ř𝑒š𝑒𝑛í 𝑣 𝐼 2 −2𝑥−1=3 3=3 2𝑥=2 𝑥+2 + 𝑥−1 =3 −2𝑥=4 0=0 𝑥=1 x=−2 𝑝𝑟𝑎𝑣𝑑𝑎 𝒦 1 ={} 𝒦 2 = −2 ;1) 𝒦 3 ={1} 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 −2∉ 𝐼 1 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 1∈ 𝐼 3 𝒦= 𝒦 1 ∪ 𝒦 2 ∪ 𝒦 3 𝒦= −2; 1

Př. 3 Řešte v ℛ: 2𝑥 −2 1−𝑥 =2 nulové body: 𝑥=0, 𝑥=1 0 1 -+ dá - 𝐼 1 =(−∞;0) 𝐼 2 = 0 ;1) 𝐼 3 = 1 ;+∞) 0 1 𝐼 1 =(−∞;0) 𝐼 2 = 0 ;1) 𝐼 3 = 1 ;+∞) 2𝑥 −2𝑥 2𝑥 2𝑥 1−𝑥 1−𝑥 1−𝑥 − 1−𝑥 −2𝑥−2 1−𝑥 =2 2𝑥−2 1−𝑥 =2 2𝑥+2 1−𝑥 =2 -+ dá - −2𝑥−2+2𝑥=2 2𝑥−2+2𝑥=2 2𝑥+2−2𝑥=2 - - dá + 2𝑥 −2 1−𝑥 =2 0=4 4𝑥=4 0=0 𝑛𝑒𝑝𝑟𝑎𝑣𝑑𝑎 𝑥=1 𝑝𝑟𝑎𝑣𝑑𝑎 𝒦 1 ={} 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑟𝑜𝑣𝑛𝑖𝑐𝑒 𝑚á 𝑛𝑒𝑘𝑜𝑛𝑒č𝑛ě 𝑚𝑛𝑜ℎ𝑜 ř𝑒š𝑒𝑛í 𝑣 𝐼 3 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑟𝑜𝑣𝑛𝑖𝑐𝑒 𝑛𝑒𝑚á ř𝑒š𝑒𝑛í 𝑣 𝐼 1 𝒦 2 ={} 𝒦 3 = 1 ;+∞) 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 1 ∉ 𝐼 2 𝒦=𝒦 1 ∪ 𝒦 2 ∪𝒦 3 𝒦= 1 ;+∞)

B) Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Při řešení nerovnic s absolutní hodnotou postupujeme obdobně jako při řešení rovnic s absolutní hodnotou. Rozdíl je pouze v tom, že nezjišťujeme, zda kořen patří do daného intervalu, ale zjišťujeme průnik řešení a daného intervalu.

nulový bod: Př. 1 Řešte v ℛ: 2𝑥−8 ≥𝑥+2 2𝑥−8=0 𝑥=4 4 𝐼 1 = −∞;4 𝐼 2 = 4; ∞ 4 𝐼 1 = −∞;4 𝐼 2 = 4; ∞ 2𝑥−8 − 2𝑥−8 2𝑥−8 2𝑥−8 ≥𝑥+2 − 2𝑥−8 ≥𝑥+2 2𝑥−8≥𝑥+2 −2𝑥+8≥𝑥+2 𝑥≥10 −3𝑥≥−6 𝑥≤2 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑗𝑑𝑒 𝑜 𝑝𝑟ů𝑛𝑖𝑘 ř𝑒š𝑒𝑛í 𝑎 𝐼 1 2 4 4 10 𝒦 2 = 10; +∞ 𝒦 1 = −∞; 2 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑗𝑑𝑒 𝑜 𝑝𝑟ů𝑛𝑖𝑘 ř𝑒š𝑒𝑛í 𝑎 𝐼 2 𝒦= 𝒦 1 ∪ 𝒦 2 𝒦=(−∞; 2 ∪ 10; +∞

nulový bod: Př. 2 Řešte v ℛ: 2x− 3𝑥−6 >4 3𝑥−6=0 𝑥=2 2 𝐼 1 = −∞;2 𝐼 2 = 2; ∞ 2 𝐼 1 = −∞;2 𝐼 2 = 2; ∞ 3𝑥−6 − 3𝑥−6 3𝑥−6 2𝑥− 3𝑥−6 >4 2𝑥+ 3𝑥−6 >4 2𝑥− 3𝑥−6 >4 5𝑥>10 2𝑥−3𝑥+6>4 𝑥>2 −𝑥>−2 𝑥<2 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑗𝑑𝑒 𝑜 𝑝𝑟ů𝑛𝑖𝑘 ř𝑒š𝑒𝑛í 𝑎 𝐼 1 2 2 𝒦 2 ={} 𝒦 1 ={} 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑗𝑑𝑒 𝑜 𝑝𝑟ů𝑛𝑖𝑘 ř𝑒š𝑒𝑛í 𝑎 𝐼 2 𝒦= 𝒦 1 ∪ 𝒦 2 𝒦={}

Lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Procvičování: Řešte v ℛ: 1− x−3 =x−2 x+2 − 2x−4 =1 2x−3 ≥ 3x−2 1−x <x+3 Výsledky: 𝒦= −∞ ; 3 𝒦={1;5} 𝒦= −1;1 𝒦= −1;+∞

Všechna neocitovaná autorská díla jsou dílem autora. Zdroje, autorská práva JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy : sbírka úloh k opakování a procvičování učiva matematiky střední školy. 4. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 194 s. Pomocné knihy pro žáky (Prometheus). ISBN 80-719-6076-4. Všechna neocitovaná autorská díla jsou dílem autora. Všechny neocitované kliparty jsou součástí prostředků MS Office. „Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoli další využití podléhá autorskému zákonu.“