KMT/MCH2 – Mechanika 2 Přednáška, 1. 3. 2018 Jiří Kohout Katedra matematiky, fyziky a technické výchovy, Fakulta pedagogická, Západočeská univerzita v Plzni

Obsah přednášky Tuhé těleso, těžiště tuhého tělesa Moment síly, podmínky rovnováhy Moment hybnosti, impulsové věty Popis rotačního pohybu, moment setrvačnosti

Tuhé těleso Tuhé těleso – fyzikální abstrakce, nezanedbáváme rozměry, ale ignorujeme deformační účinky síly (jinými slovy, sebevětší síla má pouze pohybové účinky, vzdálenost libovolných 2 bodů tělesa se jejím působením nemění) Je nutné uvažovat 2 základní typy pohybů: Pohyb translační (posuvný) Pohyb rotační (otáčivý) – rotace kolem pevné či okamžité osy U translace stačí sledovat pohyb 1 bodu, všechny ostatní mají stejnou rychlost a zrychlení (jak co do směru, tak do velikosti)

Těžiště, hmotný střed tělesa 1 Těžiště – působiště tíhové síly (působiště výslednice tíhových sil na jednotlivé (nekonečně malé) části tělesa), značíme T. Pojem těžiště má tedy smysl jen v tíhovém poli. Hmotný střed – bod pevně určený tvarem tělesa, stanoví se výpočtem pomocí integrálu bez ohledu na přítomnost tíhové síly. Značíme HS Pojmy těžiště a hmotný střed splývají v homogenním tíhovém poli (všude stejné tíhové zrychlení g, dále uvažujeme jen tuto situaci…), v nehomogenním tíhovém poli však již nikoliv!! T = HS g homogenní tíhové pole T HS g nehomogenní tíhové pole

Těžiště, hmotný střed tělesa 2 Jak najdeme hmotný střed (typicky i těžiště) tělesa? U symetrických a homogenních (všude stejná hustota) těles je ve středu symetrie či někde na ose symetrie (střed koule, střed krychle, osa rotačního kužele – ale kde na ose??) U soustavy hmotných bodů platí vztah Obecně je potřeba provést výpočet pomocí integrálů  Jednoduchá geometrická metoda – těžiště je v průsečíku těžnic při zavěšení ve dvou různých bodech V některých případech (prstýnek, váza, podkova) může těžiště ležet i mimo těleso!

Rovnovážné polohy tělesa Těleso se snaží zaujmout polohu s nejnižší možnou energií (rovnovážná poloha - RP, setrvává v ní, dokud může) Zpravidla jde o nejnižší tíhovou potenciální energii, jde tedy o to, aby těžiště bylo co možná nejníže! Rozlišujeme 3 druhy RP: Stabilní (stálá) – těžiště je v nejnižší možné poloze, potenciální energie je nejnižší možná, po vychýlení se těleso vrací zpět do původní RP Labilní (vratká) – těžiště je v nejvyšší možné poloze, po vychýlení klesá, těleso si hledá novou, pot. energie - maximum Indiferentní (volná) – po vychýlení se výška těžiště nemění, těleso zůstává v nové RP, do které bylo vychýleno, pot. energie – konst. Stabilní RP Tn T Labilní RP T Tn Indiferentní RP T Tn

Stabilita tělesa Stabilita tělesa je udána prací (jednotka stability je tedy 1 J), kterou musíme vykonat, abychom ho dostali z jeho současné RP do jiné RP. Pro labilní a indiferentní RP je tato práce vždy rovna nule, smysl ji má určovat jen pro stabilní RP! Příklad: Určete stabilitu homogenní krychle o hmotnosti m = 5 kg a délce hrany a = 20 cm položené jednou svojí stanou na vodorovné rovině. Řešení: Zajímá nás, o jakou výšku s musíme zvednout těžiště krychle T , aby se překulila na jinou stranu. Překonáváme tíhovou sílu, ze vztahu W = F*s a obrázku pak máme: W = m*g*(√2/2*a -1/2*a) ≈ 2 J. T´ T √2/2 a a/2 s = √2/2*a -1/2*a

Moment síly Otáčivé účinky síly F závisí nejen na její velikosti, ale i na kolmé vzdálenosti jejího působiště od osy otáčení! Vystihuje je vektorová fyzikální veličina moment síly (vzhledem k bodu!). Značíme M, pro velikost platí M = F*d, vektorově můžeme psát s pomocí vektorového součinu M = r × F. M je tedy vždy kolmý na F i na r. Pro směr momentu síly pravidlo pravé ruky: Položíme pravou ruku na těleso, prsty ukazují směr otáčení. Poté vztyčený palec udává směr momentu síly, který toto otáčení vyvolává. Rozměr M: M = F*d → rozměr je N*m = kg*m*s-2*m = kg*m2*s-2 (stejný rozměr jako práce!) φ F r d bod O M = r × F M = r*F*sin φ = F*d

Moment síly 2 Pokud na těleso působí více sil, je celkový moment dán podle principu superpozice vektorovým součtem jednotlivých momentů, tj. platí M = M1 + M2 + M3 +… Momentová věta: Otáčivý účinek několika sil na těleso se ruší, je-li vektorový součet jejich momentů vzhledem k ose otáčení roven nule, tj. M1 + M2 + M3 +… = 0. Podmínka rovnováhy: Těleso je v rovnovážné poloze, je-li vektorový součet všech vnějších sil a momentů vnějších sil roven nule, tj. F = 0 a M = 0 F2 φ F1 r1 d2 d1 ε r2 bod O M1 = r1 × F1 M1 = r1*F1*sin φ = F1*d1 M2 = r2 × F2 M2 = r2*F2*sin ε = F2*d2 Mo = M1 + M2 Mo = F1*d1 + F2*d2

Moment síly 3 Logická otázka k podmínce rovnováhy: vůči jakému bodu brát moment??? Věta: Pokud je výslednice vnějších sil nulová (tj. F = 0), je moment nezávislý na tom, vůči kterému bodu ho určujeme Důkaz: http://physics.mff.cuni.cz/kfpp/skripta/kurz_fyziky_pro_DS/www/fyzika.html , Mechanika 1, vztah 5.98. Jak s momentem síly vzhledem k ose? Platí vztah: M = (r × F)ˑe, kde e je jednotkový vektor ve směru osy procházející bodem, kde začíná rádiusvektor r Vektorově pak: M = [(r × F)ˑe]ˑe. Důsledek: Pro osu kolmou k rovině dané vektory r, F je moment roven momentu k danému bodu.

1. impulsová věta 1. impulsová věta je vlastně vyjádřením 2. Newtonova zákona pro soustavu HB (těleso). Říká, že změna (derivace) hybnosti tělesa je rovna výslednici vnějších sil působících na těleso. Matematicky: dp/dt = FE , pokud FE = 0, platí dp/dt = 0 → p = konst. (zachování hybnosti) Důkaz pro soustavu HB (těleso): http://physics.mff.cuni.cz/kfpp/skripta/kurz_fyziky_pro_DS/www/fyzika.html, MCH1, před vztahem 5.33 Viděli jsme, že pro otáčivý pohyb přebírá roli síly F moment síly M. Logická otázka tedy je, zda by neplatila analogie 1. impulsové věty pro případ otáčení, v níž by místo síly vystupoval moment síly? Ukazuje se, že ano, je to tzv. 2. impulsová věta. Nejprve však musíme zavést další fyzikální veličinu – moment hybnosti.

Moment hybnosti Moment hybnosti L je stejně jako moment síly určen jako vektorový součin radiusvektoru r a příslušné veličiny (tj. v našem případě hybnosti p). Je to vektorová veličina! Obecně může být určován vůči bodu či vůči ose otáčení, my jej zatím budeme uvažovat vůči bodu. Matematicky L = r × p, tj. L = p*d, kde d je kolmá vzdálenost vektoru hybnosti od osy otáčení. Rozměr L: L = p*d = m*v*d→ rozměr je kg*(m*s-1)*m = = kg*m2*s-1. Pro moment hybnosti opět platí princip superpozice, výsledný moment hybnosti se určí jako vektorový součet dílčích momentů φ p r d Bod O L = r × p L = r*p*sin φ = p*d

2. impulsová věta 2. impulsová věta je analogií 1. IV (a tedy 2. NZ) pro rotační pohyb soustavy HB či tělesa. Platí, že časová změna (derivace) momentu hybnosti je rovna výslednici momentů vnějších sil ME působících na soustavu HB či těleso (vektorový součet všech dílčích momentů pro jednotlivé HB resp. elementy). Matematicky: dL/dt = ME , pokud ME = 0, platí dL/dt = 0 → L = konst. (zákon zachování momentu hybnosti - ZZMH). Důkaz 2.IV: http://physics.mff.cuni.cz/kfpp/skripta/kurz_fyziky_pro_DS/www/fyzika.html, MCH1, před vztahem 5.49. Poznámka: Důsledkem ZZMH je např. 2. Keplerův zákon – zákon ploch

Energie rotačního pohybu 1 Zkusme se nyní na rotační pohyb podívat z hlediska jeho kinetické energie. Pro posuvný pohyb závisí kinetická energie na rychlosti v a hmotnosti m vztahem Ekinp = ½*m*v2. Analogií k rychlosti v pro rotační pohyb logicky bude úhlová rychlost ω. Ale co nahradí ve vztahu pro kinetickou energii rotačního pohybu hmotnost m?? Záleží na tom, jak je hmota rozprostřená kolem osy otáčení, čím dál je od ní, tím bude mít při rotaci úhlovou rychlostí ω větší rychlost v (platí v = ω*r, kde r je vzdálenost od osy rotace) a tím větší kinetickou energii…

Energie rotačního pohybu 2 Rozložení hmoty vůči dané pevné ose otáčení popisuje zatím skalární veličina zvaná moment setrvačnosti J (analogie hmotnosti pro rotaci). Vypočte se při znalosti hmotnosti hmotných bodů a jejich vzdáleností od osy otáčení následovně: Pro těleso pak nahradíme sumací integrací: Pro kinetickou energii rotačního pohybu pak platí Ekinr = ½*J*ω2. Pokud se realizuje zároveň rotační i posuvný pohyb (např. válec na nakloněné rovině), je celková kinetická energie dána vztahem Ekin = Ekinp + Ekinr = ½*m*v2 + ½*J*ω2.

Moment setrvačnosti Moment setrvačnosti J vůči dané ose má vždy rozměr hmotnost*vzdálenost na druhou, je to tedy kg*m2. Konkrétní vzorec pro danou osu a dané těleso je třeba určit integrálem. Příklady: J = ½*m*R2 pro válec o poloměru podstavy R, hmotnosti m a osu rotace kolmou na podstavu a procházející středem J = 2/5*m*R2 pro kouli o poloměru R, hmotnosti m a libovolnou osu procházející středem. J = m*R2 pro obruč o hmotnosti m a poloměru R a kolmou osu procházející středem obruče. Poznámka: Uvedené úvahy platí pouze pro případ rotace kolem pevné osy v prostoru. Jinak se situace silně komplikuje a moment setrvačnosti se stává symetrickým tenzorem 3. řádu (matice 3*3)

Souvislost momentů hybnosti a setrvačnosti Pro rotaci tělesa kolem pevné osy platí důležitý vztah L = J*ω (L jednotlivých elementů má stejný směr se směrem osy). Pokud je výsledný působící moment síly Mv na těleso roven nule, zůstává moment hybnosti L konstantní (2. impulsová věta). Poté platí, že součin J*ω je konstantní v čase, pokud se zmenší J, zvětší se ω a naopak. Příklady využití: skoky v krasobruslení – dát ruce k tělu, snížit J, tím zvýšit rychlost rotace gymnastika – obdobný princip

Pohybová rovnice pro rotační pohyb Z 2. IV rovnou plyne tzv. pohybová rovnice pro rotační pohyb: dL/dt = ME  d(Jˑω)/dt = ME  Jˑ(dω/dt) = ME Jˑε = ME Jde o analogii 2.NPZ ve tvaru mˑa = F. Příklad: Na rumpálu o poloměru válce 10 cm a hmotnosti 25 kg je zavěšen kbelík s vodou o hmotnosti 15 kg. Určete, za jakou dobu sjede kbelík do studny hluboké 30 m v důsledků vlastní tíhy. Tření apod. zanedbejte.