7 PYTHAGOROVA VĚTA

Přepona - nejdelší strana, proti pravému úhlu, PYTHAGOROVA VĚTA Pythagorova věta je tvrzení, které vyjádřil a dokázal matematik Pythagoras a které platí v každém pravoúhlém trojúhelníku. Základní pojmy: Pravoúhlý trojúhelník: ∆ s jedním úhlem o velikosti 90° ( zbývající dva úhly jsou ostré, protože součet velikostí vnitřních úhlů v každém trojúhelníku je 180°). Strany v ⊿: Přepona - nejdelší strana, proti pravému úhlu, odvěsny - dvě kratší strany, svírají pravý úhel.

Narýsuj pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C, a = 3cm, b = 4cm změřte délku strany c c = 5 cm

sestrojte čtverec nad odvěsnou b, nad odvěsnou a i nad přeponou c pak vypočítejte obsah jednotlivých čtverců

obsah čtverce na odvěsnou b: S1 = b2 = b . b = 16 cm2 obsah čtverce nad odvěsnou a: S2 = a2 = a . a = 9 cm2 obsah čtverce nad přeponou: S3 = c2 = c . c = 25 cm2 Pozoruj obrázek i výpočty, co pro dané obsahy čtverců platí? S3 25 16 S1 S3 = S1 + S2 25 c2 = b2 + a2 9 + 16 = 25 9 S2

Pythagorova věta: Obsah čtverce nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami, tj. c2 = a2 + b2 Využití: určení, jestli je trojúhelník pravoúhlý výpočet délky jedné strany pravoúhlého trojúhelníku, když známe zbylé dvě strany. c2 = 9 + 16 = 25 a2 + b2 = c2 b2 = 16 a2 = 9

Důkaz Pythagorovy věty: Jedná se o grafický důkaz. Čtverec o straně a + b můžeme složit dvěma způsoby (viz obrázek): a) ze 4 pravoúhlých trojúhelníků a dvou čtverců délkách stran a a b b) ze 4 pravoúhlých trojúhelníků a jednoho čtverce o straně c Z rovnosti obsahu čtverce při obou způsobech složení pak plyne i Pythagorova věta.

V každém pravoúhlém trojúhelníku platí i věta obrácená: Platí-li c2 = a2 + b2, pak je trojúhelník pravoúhlý s přeponou c. Urči, zda je trojúhelník s délkami stran 12 cm, 20 cm a 23 cm pravoúhlý. 122 + 202 ≟232 122 = 144 202 = 400 232 = 529 144 + 400 = 544 544≠ 529 Trojúhelník není pravoúhlý. 23 cm 20 cm 12 cm

Trojúhelník je pravoúhlý. Urči, zda je trojúhelník s délkami stran 8 cm, 15 cm a 17 cm pravoúhlý. 82 + 152 ≟ 172 82 = 64 152 = 225 172 = 289 64 + 225 = 289 289 = 289 Trojúhelník je pravoúhlý. 17 cm 15 cm 8 cm

Vypočítej délku přepony c v ⊿ ABC, je-li a = 8cm, b = 9 cm. ∆ je pravoúhlý  platí Pythagorova věta: obsah čtverce nad přeponou se rovná součtu obsahů čtverců nad odvěsnami, tedy c2 = a2 + b2 c2 = 82 + 92 c2 = 64 + 81 c2 = 145 c= ?????? c = 145 c = 12,04 cm a = 8 cm b = 9 cm Při řešení úloh si vždy trojúhelník načrtneme - která strana je přepona a které strany jsou odvěsny, pak teprve dosadíme do Pythagorovy věty!

Vypočítej délku přepony k v ⊿ KLM, je-li l = 16cm, m = 12 cm. Platí: obsah čtverce nad přeponou se rovná součtu obsahů čtverců nad odvěsnami, tedy k2 = l2 + m2 k2 = 162 + 122 k2 = 256 + 144 k2 = 400 k = 400 k = 20 cm l = 16 cm m = 12cm

Když počítáme délku odvěsny, musíme odčítat! Vypočítej délku strany c v ⊿ CDE s pravým úhlem při vrcholu D, je-li d = 5,8 cm, e = 3,9 cm. Platí: obsah čtverce nad přeponou se rovná součtu obsahů čtverců nad odvěsnami, tedy d2 = e2 + c2 5,82 = 3,92 + c2 33,64 = 15,21 + c2 c2 = 33,64 – 15,21 c = 18,43 ≐ 18 c = 4,24 cm d = 5,8 cm e = 3,9 cm můžeme proto rovnou psát: c2 = d2 – e2 c2 = 5,82 – 3,92 c2 = 33,64 – 15,21 c = 18,43 ≐ 18 c = 4,24 cm Když počítáme délku odvěsny, musíme odčítat! Když počítáme délku přepony, musíme sčítat!