Kužeľosečky
Menu Úvod Kužeľosečky očami laika Režeme kužeľ Kužeľosečky okolo nás Kružnica Odvodenie rovnice kružnice Priamka a kružnica Elipsa Odvodenie rovnice elipsy Polohy elipsy Dotyčnica elipsy Hyperbola Odvodenie rovnice hyperboly Polohy hyperboly Dotyčnica hyperboly Parabola Odvodenie rovnice paraboly Polohy paraboly Dotyčnica paraboly Záver – zdroje materiálov, autori Menu
KUŽEĽOSEČKY OČAMI LAIKA Po elipsu či kružnicu dokonca stačí zájsť do najbližšej chladničky! Vyberme si napríklad nejakú salámu a pokúsme na narezať zopár plátkov. Ak krájame kolmé rezy, získame okrúhle plátky, plátky s kruhovou plochou. Šikmým rezom získame podlhovasté plátky, ktoré, napriek tomu, že sme krájali z tej istej salámy, sú väčšie než kruh. Čiaru, ktorá ich ohraničuje nazývame elipsou. S elipsou sa stretneme pri mnohých iných príležitostiach. Vezmite pohár a naplňte ho asi do polovice vodou. Ak pohár stojí na stole, hladina tvorí kruh. Keď pohár trošku nakloníte, z kružnice sa stane elipsa. Ak použijete na pozorovanie veľmi úzku nádobu, napríklad laboratórnu skúmavku, uvidíte, že existujú i veľmi úzke elipsy. Elipsu vidíme veľmi často. Vlastne vždy, keď sa na kružnicu dívame šikmo. Všimnite si pri najbližšej príležitosti tanier na vedľajšom stole, alebo pozorujte niekedy cyklistu ( prípadne cyklistku ) z okna. Menu
Všetky známe kužeľosečky ( regulárne kužeľosečky ) možno vyrobiť zrezávaním 2 kužeľov, ktoré sú spojené vo vrchole a sú nekonečné. Kružnica- dostaneme ju tak, že budeme kužeľ rezať rovinou kolmou na os kužeľa. Parabola- pri ďalšom nakláňaní roviny sa nám rez náhle "otvorí", dostali s me parabolu. ( rovina je rovnobežná s povrchovou priamkou kužeľovej plochy ) Hyperbola- stačí len malé vychýlenie roviny a rez bude dvojdielny,pretože rovina v tejto polohe pretne obidva kužele. Elipsa- dostaneme ju, keď túto rovinu trošku nakloníme. Menu
KUŽEĽOSEČKY OKOLO NÁS Menu Predstavte si elipsu, ktorej ohniská sú od seba vzdialené 15 m. Okolo tejto elipsy postavíme 2 m vysoké a príslušne zaokrúhlené zrkadlá, ktorých zrkadlové plochy smerujú dovnútra takto vzniknutého eliptického valca. Keby teraz stála v každom ohnisku jedna osoba, budú sa obe osoby vidieť stále bez ohľadu na smer, ktorým sa dívajú. Všetky svetelné lúče vychádzajúce z jedného ohniska sa totiž odrážajú tak, že smerujú do druhého ohniska. To, čo platí o svetelných lúčoch platí prirodzene aj o zvuku. Ak čosi šepkáme v jednom ohnisku elipsy, v druhom ohnisku je to celkom dobre počuť, čo by pri tejto vzdialenosti nebolo inak možné. Kedysi sa podobným spôsobom sadili a strihali kroviny a v ohniskách takto vytvorenej elipsy sa umiestňovali lavičky. Elipsa pritom nemusela byť úplná - stačilo iba niekoľko oblúkov, aby hovor na jednej lavičke bol zrozumiteľný i pre tých, ktorí sedeli na druhej lavičke. S podobnými javmi sa stretávame i v kopulovitých stavbách niektorých zámkov a kostolov. Potom hovoríme o takzvaných šepkajúcich galériách. Aplet-zobrazenie lúčov Menu
S elipsou sa stretávame ešte v jednej súvislosti, kde tiež zohráva veľmi dôležitú úlohu. Naša Zem sa pohybuje okolo Slnka. Jeden obeh jej trvá práve jeden rok. Dráha, ktorú Zem za rok prebehne, má tvar elipsy. Táto elipsa je však priveľmi "tlstá" a od kružnice sa lísi len veľmi málo. Najmenšia vzdialenosť Zeme od Slnka je 147,1 miliónov km, najväčšia 152,1 miliónov km. I keď rozdiel piatich miliónov km je sám o sebe značný, v pomere k obidvom vzdialenostiam je skoro zanedbateľný. Eliptickú dráhu Zeme okolo Slnka objavil pred viac ako tristo rokmi slávny matematik a astronóm Ján Kepler. Objavil aj to, že Zem obieha tým rýchlejšie, čím je bližšie k Slnku. A to, čo platí pre pohyb Zeme, platí aj pre všetky ostatné planéty obiehajúce okolo Slnka. Napríklad planéta Merkúr, ktorá je v našej planetárnej sústave najbližšie k Slnku, sa pohyhuje po elipse, pričom najväčšia vzdialenosť od Slnka je jedenapolkrát väčšia ako vzdialenosť najmenšia. Ešte výraznejší je elipsovitý tvar dráhy niektorých družíc. Ako umelé nebeské telesá sa musia riadiť rovnakými zákonmi ako planéty, len s tým rozdielom, že sa pohybujú okolo Zeme. V jednom ohnisku ich elipsovitej dráhy je Zem. Tu sú vzdialenosti samozrejme kratšie než pri planétach slnečnej sústavy. Už ste presvedčení, že kužeľosečky sú všade okolo nás ? Menu
Kružnica Kružnica je množina všetkých bodov v rovine, ktorých vzdialenosť od pevného bodu, ktorý nazývame stred, je konštantná a je rovná polomeru. Menu
Odvodenie rovnice kružnice Menu
Priamka a kružnica T[x0,y0] Menu
Elipsa Elipsa je množina všetkých bodov v rovine, ktorých súčet vzdialeností od dvoch pevných bodov, ktoré nazývame ohniská, je konštantný a je rovný dĺžke hlavnej osi elipsy. Elipsa má dve osi, hlavnú a vedľajšiu, ktorých priesečník je stred elipsy. Hlavnou osou elipsy nazývame tú, ktorá je dlhšia, vedľajšou kratšiu z nich. Ohniská označujeme F1 a F2, ležia na hlavnej osi, sú rovnako vzdialené od stredu elipsy a vzdialenosť ktoréhokoľvek z nich od stredu sa nazýva excentricita. Označuje sa e. Polovicu dĺžky hlavnej osi označujeme a a polovicu vedľajšej osi b. Menu
AKO SKONŠTRUOVAŤ ELIPSU... Záhradnícka metóda: 1. do zeme zapichneme dva kolíky, ktoré predstavujú ohniská elipsy ( tj ich vzdialenosť je 2e) 2. na kolíky pripevníme špagát dĺžky 2a 3. vezmeme tretí kolík, pomocou neho napneme špagát a pohybujeme ním: všetky miesta, ktoré kolíkom na zemi označíme sú bodmi elipsy Menu Aplet – konštr. elipsy
Odvodenie rovnice elipsy F1[-e; 0], F2[e; 0]. P[x; y] Menu
Menu
x2 [a2 - (a2 - b2)] + a2y2 = a2[a2 - (a2 - b2)] e2 = a2 - b2 x2(a2-e2)+a2y2=a2(a2-e2) x2 [a2 - (a2 - b2)] + a2y2 = a2[a2 - (a2 - b2)] x2 [a2 - a2 + b2] + a2y2 = a2 [a2 - a2 + b2] x2b2 + a2y2 = a2b2 /:a2b2 Menu
Polohy elipsy Elipsa môže mať rôzne polohy. Budeme sa zaoberať len elipsami v rovine ktorých osi ležia na osiach x a y, alebo sú s nimi rovnobežné. Menu
Rovnica dotyčnice ku elipse T[x0,y0] Definícia: Priamka p je dotyčnica k elipse ak má s ňou spoločný jediný bod a všetky ostatné body priamky p sú vonkajšími bodmi elipsy. Menu
Hyperbola Hyperbola je množina všetkých bodov v rovine, ktorých absolútna hodnota rozdielu vzdialeností od dvoch pevných bodov, ktoré nazývame ohniská, je konštantná a je rovná dĺžke hlavnej osi elipsy. Hyperbola má tak ako elipsa dve osi, hlavnú a vedľajšiu, ktorých priesečník je stred hyperboly. Hlavnou osou hyperboly nazývame tú, ktorá je dlhšia a vedľajšou kratšiu z nich. Ohniská označujeme F1 a F2. Ležia na hlavnej osi, sú rovnako vzdialené od stredu hyperboly a vzdialenosť ktoréhokoľvek z nich od stredu sa nazýva excentricita- e.Polovicu dĺžky hlavnej osi označujeme a a polovicu vedľajšej osi b. Aplet – konštrukcia hyperboly Menu Aplet – chod lúčov
Odvodenie rovnice hyperboly F1[-e; 0], F2[e; 0]. P[x; y] Menu
Menu
Polohy hyperboly Menu
Rovnica dotyčnice k hyperbole Definícia: Priamka p je dotyčnica ku hyperbole ak má s ňou spoločný jediný bod a všetky ostatné body priamky p sú vonkajšími bodmi hyperboly. Menu
Parabola Parabola je množina všetkých bodov roviny, ktoré majú od priamky d a bodu F rovnakú vzdialenosť. Bod F sa nazýva ohnisko, d je riadiaca (direkčná) priamka paraboly. Os paraboly tvorí priamka prechádzajúca bodom F kolmá na riadiacu priamku. Vrchol paraboly V sa nachádza v strede medzi ohniskom a priesečníkom riadiacej priamky s osou paraboly. Aplet – konštr. paraboly Aplet – zobr. lúčov Menu
Odvodenie rovnice paraboly P: y2 = 2px Menu
Polohy paraboly Menu
Menu
Rovnica dotyčnice k parabole Definícia: Priamka p je dotyčnica k parabole ak má s ňou spoločný jediný bod a všetky ostatné body priamky p sú vonkajšími bodmi paraboly. Menu
Koniec Prezentáciu zostavila: RNDr. Marta Mlynarčíková V prezentácii sú použité obrázky, texty a aplety z týchto zdrojov: http://kekule.science.upjs.sk/matematika/kniznica_vp/kuzelsec/zapocet.htm http://www.ies.co.jp/math/java/ výukové CD: Stredoškolská matematika, autor: ing. Jan Houska vydavatel: Nadace Geneze, Koniec Prezentáciu zostavila: RNDr. Marta Mlynarčíková Gymnázium P. O. Hviezdoslava Kežmarok Spolupracoval: Ján Gáborčík - študent