Blackova – Scholesova analýza Ekonomická univerzita, Fakulta hospodárskej informatiky Dolnozemská cesta 1, 852 35 Bratislava Blackova – Scholesova analýza doc. RNDr. Ľudovít Pinda,CSc. EU FHI, Katedra matematiky e-mail: pinda@euba.sk november 2009 Bratislava

CENA AKTÍVA AKO NÁHODNÁ PREMENNÁ

CENA AKTÍVA AKO NÁHODNÁ PREMENNÁ Platby z pozícií európskych opcií Pozícia európskej opcie Kúpna opcia (call option) Predajná opcia (put option) dlhá pozícia (long position) krátka pozícia (short position) alebo

JEDNODUCHÝ MODEL CENY AKTÍVA Obr.1 - priemerná miera výnosnosti rastu ceny aktíva - volatilita aktíva meraná strednou kvadratickou odchýlkou výnosnosti aktíva

JEDNODUCHÝ MODEL CENY AKTÍVA (1) hodnota aktíva v čase , Wienerov proces: je náhodná premenná a riadi sa normálnym rozdelením, stredná hodnota sa rovná nule, disperzia je .

JEDNODUCHÝ MODEL CENY AKTÍVA je náhodná premenná sa riadi štandardizovaným normálnym rozdelením. Štandardizované normálne rozdelenie má nulovú strednú hodnotu, disperziu rovnú jednej a rozdelenie pravdepodobnosti dané funkciou pre Ak definujeme operátor očakávania ako pre ľubovoľnú funkciu F, potom a

JEDNODUCHÝ MODEL CENY AKTÍVA Ak S sa riadi podľa (1), potom sa riadi lognormálnym rozdelením. Budúca cena aktíva závisí len od súčasnej ceny aktíva. Nezávislosť od vývoja ceny v minulosti sa nazýva Markovova vlastnosť. kde . Teda ďalšia hodnota S je väčšia o Ďalej disperzia dS je

ITÔOVO LEMMA ak Ak zmeníme S o malú hodnotu dS, potom z Taylorovho rozvoja môžeme písať (2) Ak za dS zoberieme tvar uvedený v (1) a umocníme ho na druhú, tak (3)

ITÔOVO LEMMA Výsledok môžeme rozšíriť na funkciu dvoch premenných . Potom môžeme funkciu rozvinúť do Taylorovho radu v okolí ako

BLACKOV – SCHOLESOV MODEL S – cena aktíva v čase , V(S,t) – hodnota opcie, C(S,t) – hodnota kúpnej ( call ) opcie, P(S,t) – hodnota predajnej ( put ) opcie, – volatilita odpovedajúceho aktíva, E – dodacia cena, dohodnutá v prítomnosti, T – doba exspirácie ( životnosti ) opcie, r – bezriziková úroková sadzba so spojitým úrokovaním, at – the – money, opcia je realizovaná v hodnote odpovedajúceho aktíva, in – the – money, realizačná cena je menšia (väčščia) pre kúpnu (predajnú) opciu) ako S, out – of – the – money, kúpna, predajná opcia, je mimo intristickej hodnoty.

BLACKOV – SCHOLESOV MODEL PUT - CALL PARITA

BLACKOV – SCHOLESOV MODEL PREDPOKLADY: cena aktíva S sa riadi lognormálnym rozdelením, bezriziková úroková sadzba r a volatilita ceny aktíva sú počítané z historických dát, neuvažujeme transakčné náklady, neuvažujeme dividendové platby aktíva počas životnosti opcie, neuvažujeme arbitrážne príležitosti, uvažujeme spojité úrokovanie, uvažujeme krátku aj dlhú pozíciu aktíva, ktoré nemusí byť v celočíselnom násobku jednotkového množstva.

BLACKOV – SCHOLESOV MODEL Ak dosadíme , tak Blackova – Scholesova parciálna diferenciálna rovnica

Blackova – Scholesova formula európskej call opcie je distribučná funkcia normovaného normálneho rozdelenia resp.

Blackova – Scholesova formula európskej call opcie Obr.2 ,

Blackova – Scholesova formula európskej call opcie Obr.3 ,

Blackova – Scholesova formula európskej call opcie , Blackova – Scholesova formula európskej call opcie , , (3) za podmienok pre Označme , , (4) Rovnica (4) je tzv. difúzna rovnica. Ak položíme za funkciu

Blackova – Scholesova formula európskej call opcie Ak porovnáme koeficienty pri funkcii a , tak dostaneme sústavu rovníc z ktorej dosadzovacou metódou vypočítame , Po dosadení do funkcie je , kde funkcia je riešením difúznej rovnice pre

Blackova – Scholesova formula európskej call opcie s riešením . , Ak zavedieme substitúciu

Blackova – Scholesova formula európskej call opcie , je

Blackova – Scholesova parciálna diferenciálna rovnica. Aproximácia distribučnej funkcie normovaného normálneho rozdelenia na štyri desatinné miesta a kde , ,

TABUĽKY Tab. 1

TABUĽKY Tab. 2

 Príklad 1 Vypočítajme hodnotu normovaného normálneho rozdelenia pre d1 ak S = 88, X = 90, T= 0.5, r % 0.1, ,  Riešenie: Potom

 Príklad 2 Vypočítajme cenu európskej call opcie s dobou exspirácie tri mesiace. Cena odpovedajúceho aktíva je 60, realizačná cena aktíva je 65, bezriziková úroková sadzba 8 % p. a. volatilita ceny odpovedajúceho aktíva je 30 % p. a.  Riešenie: Teda S = 60, X = 65, T = 0.25, r = 0.08, .Teda Hodnotu distribučnej funkcie normovaného normálneho rozdelenia určíme podľa tab. 1 príp. tab. 2. Potom a cena európskej kúpnej opcie C je

Ďakujem za pozornosť doc. RNDr. Ľudovít Pinda, CSc. mail: pinda@euba.sk