Ekonometrické prognózovanie

Jedným z hlavných cieľov ekonometrického modelovania je prognózovanie, popr. predikcia, hodnôt vysvetľovaných endogénnych premenných mimo interval kvantifikácie. tj. ak sme model kvantifikovali na základe n pozorovaní (1, 2, ..., n), prognóza sa týka nasledujúcich období tj. n + 1, n + 2, ..., n + p. Ekonometrická prognóza alebo predpoveď je kvantitatívnym odhadom pravdepodobnosti budúcej hodnoty konkrétnej ekonomickej veličiny pomocou minulej aj súčasnej informácie, reprezentovanej odhadnutým modelom. KLASIFIKÁCIA PREDPOVEDÍ Kritérií pre klasifikáciu prognóz existuje celý rad, preto sa zmienime len o tých, ktoré majú v ekonometrii opodstatnenie. Termín predpoveď alebo prognóza sa spravidla používa pre extrapoláciu modelu do budúcnosti, ale predpoveď je možné chápať aj ako extrapoláciu do minulosti (vtedy hovoríme o retrospektivite). Rozlišujeme bodovú predpoveď, spočívajúcu v odhade jednej budúcej hodnoty predikovanej veličiny pre dané obdobie a intervalovú predpoveď, predstavujúcu obdobu intervalu spoľahlivosti, ktorý obsahuje skutočnú hodnotu predikovanej premennej v období predpovede s vopred požadovanou pravdepodobnosťou.

Z praktických aj metodologických dôvodov rozlišujeme predpovede: – ex post – ex ante. Predpoveď ex post vysvetľovanej endogénnej premennej získame vtedy, ak môžeme stanoviť tak hodnoty endogénnych ako aj vysvetľujúcich predeterminovaných premenných v období predpovede s istotou. Porovnaním predpovedí ex post so skutočnou hodnotou predikovanej endogénnej premennej je možné stanoviť vhodnosť ekonometrického modelu k prognózovaniu. Prognóza ex ante vysvetľovanej endogénnej premennej znamená, že v období predpovede nepoznáme ani hodnotu predikovanej veličiny ani niektoré (často všetky) hodnoty vysvetľujúcich predeterminovaných premenných s istotou. Preto sme nútení ich odhadovať alebo stanoviť na základe apriórnych informácií. Predpoveď ex ante je možné označiť za predpoveď v pravom slova zmysle na rozdiel od predpovede ex post, ktorá má charakter pseudopredpovedí. V ekonometrickom prognózovaní rozlišujeme predpovede na : – nepodmienené predpovede – podmienené predpovede. Ak v období predpovede poznáme všetky hodnoty predeterminovaných premenných s istotou, je možné stanoviť nepodmienenú predpoveď. Teda každá prognóza ex post má charakter nepodmienenej predpovede, pričom prognóza ex ante je podmienenou predpoveďou

Rovnako ako pri odhade ekonometrického modelu je možné usudzovať o neznámych skutočných hodnotách parametrov len s určitou pravdepodobnosťou, podobne platí aj pre ekonometrické prognózovanie, že na základe odhadnutého modelu nezískame podmienené predpovede vysvetľovaných endogénnych premenných celkom presne, ale s určitou chybou. Odchýlka predpovede od skutočnej hodnoty predikovanej endogénnej premennej v období predpovede predstavuje chybu predpovede. Jej veľkosť a a variabilita sú ovplyvnené predovšetkým týmito faktormi: Stochastickým charakterom modelu Náhodnou chybou, ktorou sú zaťažené odhadnuté parametre modelu, takže ich hodnoty získané z ktoréhokoľvek výberu pozorovaní sa viac či menej odchyľujú od skutočných hodnôt parametrov. Pri podmienenej predpovedi hodnoty vysvetľujúcich predeterminovaných premenných, získané odhadom alebo extrapoláciou pre obdobie predpovede, tiež obsahujú náhodnú chybu. Chybnou špecifikáciou odhadnutého ekonometrického modelu v období predpovede z dôvodu jeho nestability v čase. V dôsledku pôsobenia vyššie popísaných vplyvov na proces predikcie majú ekonometrické predpovede stochastický charakter. Cieľom je teda získať také prognózy, ktoré zaručujú, že ich chyba má napr. minimálny rozptyl, sú nestranné nevychýlené...

Kritéria hodnotenia ekonometrických predpovedí K hodnoteniu predpovedí je možné využiť tak parametrické, ako aj neparametrické kritéria. Parametrické kritéria: Overovanie hypotézy o nestrannosti či konzistencie predpovedí Testovanie štruktúry stability modelu Testy štatistickej významnosti bodových predpovedí Stanovenie spoľahlivosti intervalových predpovedí Najčastejšie sa využívajú testovacie štatistiky založené na normálnom rozdelení, Studentovom rozdelení, alebo F rozdelení. Výhodou parametrických kritérií je , že pre daný koeficient spoľahlivosti umožňujú jednoznačné prijatie či odmietnutie vopred formulované hypotézy. Menej vhodné sú však pre porovnávanie dvoch alebo viacerých prognóz, získaných z rôznych ekonometrických modelov. V takých prípadoch je účelné aplikovať neparametrické kritéria

K neparametrickým kritériám kvality predpovedí patria predovšetkým kvantitatívne ukazovatele štatistického a ekonometrického charakteru. Ide najmä o rôzne miery presnosti predpovedí, ukazovatele presnosti generovania bodov zvratu pri predikcii, charakteristiky štruktúry chýb predpovedí, grafické metódy porovnania skutočných a predikovaných hodnôt... Stredná kvadratická chyba ekonometrických predpovedí ex post 6. je predpoveď ex post vysvetľovanej endogénnej premennej skutočná hodnota endogénnej premennej h dĺžka horizontu predpovedi Ukazovateľ (6.) je mierou odchýlky postupnosti predikovaných hodnôt endogénnej premennej od skutočnej trajektórie jej hodnôt v priebehu celého horizontu v dĺžke h období. Jeho veľkosť pre rôzne premenné posudzujeme v percentách.

Theilov koeficient nesúladu Podobnou charakteristikou presnosti resp. kvality ekonometrickej predpovede ex post, nezávislou na merných jednotkách a použiteľnou i ako kritérium vhodnosti modelu k predikcii a ku generovaniu bodov zvratu je Theilov koeficient nesúladu postupnosti relatívnych zmien predpovedí a skutočných hodnôt vysvetľovanej premennej 7. je predpoveď ex post vysvetľovanej endogénnej premennej skutočná hodnota endogénnej premennej h dĺžka horizontu predpovedi Hodnota koeficientu 0 znamená, že všetky predpovede ex post sú perfektné, takže čím menší je koeficient nesúladu, tým lepšia je predikčná schopnosť resp. presnosť modelu.

Theilovu štatistiku je možné využiť k rozkladu celkového nesúladu na tri zložky, umožňujúce charakterizovať rôzne zdroje či príčiny nepresnosti predpovedi ex post. Čitateľ zlomku pod odmocninou výrazu (7.)tj. Strednú kvadratickú chybu predpovedi ex post v relatívnom vyjadrení, môžeme za týmto účelom prepísať: 8. pričom

Prvá zložka ukazuje, do akej miery je nesúlad medzi predikovanými hodnotami a aktuálnymi hodnotami endogénnych premenných spôsobený systematickou chybou, tj. rozdielom v ich priemeroch. Druhá zložka vyjadruje, aký podiel má na strednej kvadratickej chybe systematický rozdiel medzi štandardnými odchýlkami predikovanej a skutočnej hodnoty vysvetľovanej endogénnej premennej. Tretia zložka reprezentuje nesystematickú náhodnú chybu, spôsobenú nedostatočnou koreláciou predikovanej a skutočnej vysvetľovanej endogénnej premennej. Ak je r = 1, zložka kovariancie chyby predpovede ex post nie je nulová. Túto zložku nie je možné, na rozdiel od prvých dvoch systematických zložiek redukovať, napríklad využitím dodatočnej informácie pri predikcii. Ak vyjadríme všetky tri zložky vo vzťahu k celkovej strednej kvadratickej chybe predpovede, dospejeme tak k relatívnemu (percentuálnemu) nesúladu v tvare:

9.

Podiel skreslenia U1 by mal byť pre ľubovoľnú hodnotu koeficientu U blízky nule. Relatívne veľký podiel 0,1 až 0,2 znamená, že je nutné model modifikovať s cieľom znížiť systematické skreslenie. Podobne vysoký podiel U2 svedčí o tom, že postupnosť predikovaných zmien sa viac mení ako aktuálne zmeny alebo naopak. Preto je potreba vykonať úpravu modelu, aby bol vhodnejší k predpovedi. Tretej zložke sa prakticky nemôžeme vyhnúť U3 , je z hľadiska dobrej predikčnej schopnosti a presnosti modelu optimálne, ak

Formulácia ekonomickej hypotézy pomocou jednoduchého lineárneho ekonometrického modelu s dvomi premennými, ktorý sme popísali v prednáške 2, je v praktických úlohách málo využívaná. Oveľa častejšie sa môžeme stretnúť s formuláciou ekonometrického modelu, keď endogénnu premennú vysvetľujeme nie jednou, ale viacerými exogénnymi premennými. Parametre modelu sú neznáme numerické konštanty, pričom parameter je tzv. úrovňová konštanta, alebo absolútny člen lineárneho modelu, parameter udáva zmenu endogénnej premennej pri jednotkovej zmene exogénnej premennej Xij a nezmenených hodnotách ostatných exogénnych premenných (predpoklad ceteris paribus). Ekonometrický model je možné a v ekonometrii aj časté zapísať alternatívne:

Aby sme uľahčili popis a odvodenie niektorých postupov uvedieme aj často využívaný zápis ekonometrického modelu v maticovom tvare. Symbolom budeme označovať n rozmerný stĺpcový vektor pozorovaní endogénnej premennej, je matica rozmeru pozorovaní nezávisle premenných, pričom prvý stĺpec matice je tvorený pomocnou premennou v tvare jednotkového vektora pre , používaného k odhadu úrovňovej konštanty . Symbolom označujeme rozmerný stĺpcový vektor neznámych parametrov modelu a je n rozmerný stĺpcový vektor nepozorovaných náhodných porúch.

Formulácia ekonomickej hypotézy pomocou jednoduchého lineárneho ekonometrického modelu s dvomi premennými, ktorý sme popísali v prednáške 2, je v praktických úlohách málo využívaná. Oveľa častejšie sa môžeme stretnúť s formuláciou ekonometrického modelu, keď endogénnu premennú vysvetľujeme nie jednou, ale viacerými exogénnymi premennými. (3.1) Parametre modelu sú neznáme numerické konštanty, pričom parameter je tzv. úrovňová konštanta, alebo absolútny člen lineárneho modelu, parameter udáva zmenu endogénnej premennej pri jednotkovej zmene exogénnej premennej Xij a nezmenených hodnotách ostatných exogénnych premenných (predpoklad ceteris paribus). Ekonometrický model 3.1 je možné a v ekonometrii aj časté zapísať alternatívne: (3.2)

Aby sme uľahčili popis a odvodenie niektorých postupov uvedieme aj často využívaný zápis ekonometrického modelu v maticovom tvare. (3.3) Symbolom budeme označovať n rozmerný stĺpcový vektor pozorovaní endogénnej premennej, je matica rozmeru pozorovaní nezávisle premenných, pričom prvý stĺpec matice je tvorený pomocnou premennou v tvare jednotkového vektora pre , používaného k odhadu úrovňovej konštanty . Symbolom označujeme rozmerný stĺpcový vektor neznámych parametrov modelu a je n rozmerný stĺpcový vektor nepozorovaných náhodných porúch.

Prognóza endogénnej premennej v období mimo horizont kvantifikácie (odhadu modelu) keď nepoznáme hodnoty exogénnych premenných s istotou, vyžaduje ich predpoveď pre obdobie prognózy n+1, n+2... n+p. Pre obdobie n+1

Pre obdobie n+p

Pri dekompozícii exogénnych premenných X sa snažíme najskôr identifikovať trend a potom až ostané zložky, ak je to možné (sezónnu, cyklickú a náhodnú). Niekedy sa však postupuje opačne: časový rad sa najskôr zbaví sezónnych vplyvov a potom sa v takto očistenom časovom rade hľadá trend, alebo jeho závislosť na iných vysvetľujúcich premenných. K identifikácii trendu sa používajú predovšetkým štyri nasledujúce metódy: preloženie ČR matematickou krivkou vyrovnanie ČR metódou kĺzavých priemerov exponenciálne vyrovnanie ČR – vyhladzovanie, použitie Box - Jenkinsovej metodológie. Prekladanie časových radov zvolenou matematickou krivkou je súhrnne nazývané neadaptívnymi metódami, ostatné tri metódami sú metódami adaptívnymi. Neadaptívne metódy sú také metódy, ktoré časový rad vysvetľujú ako celok pomocou niekoľkých v čase konštantných parametrov. Takýto model sa len veľmi pomaly (alebo vôbec) prispôsobuje zmenám v charaktere časového radu. Je zrejmé, že tieto metódy nie je možné používať v žiadnom prípade na indentifikáciu modelu veličiny, u ktorej nie je zaručená podmienka, že sa vonkajšie vplyvy nemenia. Na druhú stranu umožňujú tieto metódy (aspoň z technického hľadiska) jednoduchú predpoveď pro ďalšie obdobie. Medzi neadaptívne modely patria aj regresné a ekonometrické modely.

Vyrovnanie trendu matematickou krivkou Adaptívne metódy sa naopak prispôsobujú zmenám v charaktere analyzovanej veličiny pomerne rýchlo. Je to spôsobené ich charakterom. Väčšinou sa nimi spracovávajú postupne malé kusy ČR alebo sa používajú metódy ”zabúdania” starých hodnôt. Flexibilita týchto metód umožňuje rýchle sa adaptovať na zmenu, poskytovať kvalitnú krátkodobú predpoveď, ale väčšinou vylučuje možnosť kvalitných dlhodobých predpovedí. Vyrovnanie trendu matematickou krivkou Prvou triedou metód, ktoré sa používajú pri dekompozícii ČR sú tzv. neadaptívne metódy. Tieto metódy vychádzajú z predpokladu, že sa trend po celú nami sledovanou dobu nemení a že je možné ho popísať niektorým typom matematickej krivky. Celá úloha identifikácie trendu sa potom redukuje na výber správneho typu matematickej krivky a odhad jej parametrov. Vychádzame pritom z jednoduchého modelu časového radu 1 resp.   2.

    Konštantný trend. Najjednoduchším trendom je konštantný trend, kedy sledovaný ČR ani nerastie ani neklesá, ale osciluje okolo konštanty (najčastejšie priemer). Tento trend môžeme popísať základným vzťahom 3. Parameter vypočítame 4.

Po výpočte s normálovej rovnice získame odhad parametra 5. Hodnota predpovede na základe konštantného trendu vo forme bodovej predpovede pre obdobie T 7.   8.   kde   9.

Obr.1 Konštantný trend

Lineárny trend Pri konštantných zmenách prvej diferencie ČR je vhodné modelovať trend pomocou lineárnej funkcie 10. Parametre modelu vypočítame z rovníc 11. 12. 13. 14.

Vyrovnaná (prognózovaná) hodnota trendu pre obdobie T je daná vzťahom 15. Intervalová predpoveď 16. kde 17. 18.

Obr. 2 Lineárny trend

Polynómny trend Najjednoduchším polynómom je polynóm druhého stupňa (k = 2) 19. alebo kvadratický trend. V prípade, že uvažujeme všeobecný k – ty stupeň polynómu 20. V takomto prípade využijeme maticové riešenie výpočtu parametrov 21.

  22. Vyrovnaná hodnota (predpovedaná) pre obdobie T na základe bodovej predpovede 23. Kde je riešením 22. Interval spoľahlivosti je tvorený vzťahom 24. 25. 26.

t Obr.3 Polynómny trend Pri voľbe stupňa polynómu je potrebné postupovať veľmi opatrne. Vyšší stupeň polynómu síce zaistí tesnejšie preloženie empirických hodnôt krivkou, ale vedie k výraznejšej nestabilite trendu.

Exponenciálny trend Model exponenciálneho trendu má tvar 27. 28.   28. Substitúciou upravíme do tvaru 29. kde

Obr4. Exponenciálny trend

30. 31. 32.

Logistický trend 33. 34. 35.

36. 37. 38.

Príklad

Gompertzov trend 39. 40.

Metóda kĺzavých priemerov 41. 42. 43.

1. 2. 3. (mean absolute error) 4. 5. 6. (mean square error) (mean percentage error) 6.

7.

8.

Autokorelačná funkcia ACF

9.

10. Príklad

11.

Analýza sezónnej zložky

12.

14.

15.

16.

17.

18. Priklad

b) Určíme trend