6. C, ZŠ Okružná 17 Michalovce Uč. matematiky: Mgr. Sidónia Počatková PYTAGORAS Eduard Hamarik 6. C, ZŠ Okružná 17 Michalovce Uč. matematiky: Mgr. Sidónia Počatková

Obsah História Slávne osobnosti Pytagorova veta v praxi Otázky a odpovede

Kto to bol? 580 (572) pred n. l. na ostrove Samos Duševný obzor mladého Pytagora Pytagoras cestuje a spoznáva mystiku čísel Pytagorasov spolok (okolo roku 530 pred n. l.) Metapont – mesto, kde v roku 497 pred n. l. Pytagoras umiera Pytagoras (Kto bol?)   O živote Pytagora sa zachovali iba skúpe správy. Iba jedno je isté – všetko, čo o ňom povieme je neisté. Narodil sa 580 (572) pred n. l. na ostrove Samos (pobrežie Malej Ázie). Tyrania Polykrata, odvážne stavby (prístavné mólo, podzemný vodovod), obchodné loďstvo, razenie mincí, styky s Egyptom (najmä jeho kultúrou), rozvoj literatúry... formovalo duševný obzor mladého Pytagora. V 40 rokoch opúšťa Samos kvôli problémom s tyranom. Cestou na juhotaliansky Krotón viedla cez Egypt (možno aj Perziu – teda aj slávny Babylon), kde sa oboznámil s niektorými matematickými znalosťami (chránenými ako ich kultúrne tajomstvo). V Krotóne založil Pytagoras spolok asi okolo roku 530 pred n. l. (bola to škola a zároveň náboženská sekta), ktorá na čas ovládla mesto aj politicky. Členovia tohto „krúžku“ sa nazývali pytagorovci. Dostať sa tam nebolo vôbec ľahké – adept musel podstúpiť viaceré (vôbec nie ľahké) skúšky. Jedna z nich bola neobyčajne náročná: Pytagoras prijal vraj len tých, ktorí pred vstupom do spolku dokázali päť rokov mlčať. Až potom sa nový „študent“ mohol venovať filozofii, matematike, astronómii, medicíne a hudbe. Všetko, čo objavil alebo čomu sa naučil, musel prísne utajovať. Občania sa však vzbúrili a rozohnali spolok. Pytagoras uteká do Metapontu, kde roku 497 umiera. „Pytagoras je jednou z najprotirečivejších a zároveň najvplyvnejších postáv v dejinách filozofie a vedy i v dejinách ideí vôbec.“ (Kessidi) „Pytagoras bol intelektuálne jedným z najvýznamnejších ľudí, ktorí kedy žili – a to ako svojou múdrosťou, tak aj svojou nemúdrosťou.“ (B. Russell) „Najmúdrejšie je číslo.“ (Pytagoras) „Filozofi sú lovcami pravdy.“

Čo už vieme... Pôvod Pytagorovej vety môžeme nájsť v Egypte. V pravouhlom trojuholníku sa obsah štvorca nad preponou rovná súčtu obsahov štvorcov nad odvesnami. Ak sa súčet štvorcov nad dvoma stranami trojuholníka rovná obsahu štvorca nad treťou stranou, potom je tento trojuholník pravouhlý. c2 = a2 + b2 Pytagorova veta (Čo už vieme...)   O Pytagorovej vete počul zaiste každý z nás. Používa sa v mnohých oblastiach matematiky, v stavebníctve, architektúre, pri meraní... Hoci je veta pomenovaná po známom matematikovi, žijúcom v 6. st. pred n. l. poznali ju už o viac ako 1000 rokov skôr – dokazuje to písomný záznam z čias panovania babylonského kráľa Chammurapiho. Pôvod Pytagorovej vety môžeme nájsť v Egypte. Už Egypťania dokázali zostrojiť pravý uhol. Na troch lanách najskôr urobili rovnako vzdialené uzly tak, aby získali na prvom lane 3 jednotky vzdialenosti, na druhom 4 a na treťom 5 jednotiek. Keď laná roztiahli a utvorili trojuholník, vedeli, že bude mať vždy oproti najdlhšej strane pravý uhol. Ale prvý písomný dôkaz pochádza práve od Pytagora. (Na oslavu tohto dôkazu vraj Pytagoras obetoval sto volov.) Pytagorova veta: V pravouhlom trojuholníku sa obsah štvorca nad preponou rovná súčtu obsahov štvorcov nad odvesnami. c2 = a2 + b2 Platí aj obrátené tvrdenie: Ak sa súčet štvorcov nad dvoma stranami trojuholníka rovná obsahu štvorca nad treťou stranou, potom je tento trojuholník pravouhlý. V matematike pravdepodobne neexistuje iná veta, ktorá by mala toľko dôkazov ako veta Pytagorova.

Origami Štvorec podľa obrázka: Porovnaním zistíme: a2 je obsah FGBC b2 je obsah štvorca AIJC c2 je obsah štvorca ADEB Porovnaním zistíme: obsah štvorca FGBC = obsah ∆AHB obsah štvorca AIJC = obsah útvaru ADEBH (je to zostávajúca plocha štvorca ADEB bez ∆AHB) Preto platí: c2 = a2 + b2 Origami   Zahnúť či zložiť hárok papiera nie je ťažké. Urobil to už každý z nás. Sotvakto však preložil papier iba preto, aby si overoval alebo skúmal matematické teórie. S papierovými kompozíciami sa stretneme v rôznych krajinách a kultúrach. O ich rozmach a popularizáciu sa zaslúžili Japonci. Zaujímavý je dôkaz Pytagorovej vety zahýbaním papierika – ogigami. Najskôr zahneme štvorec papiera podľa obrázka. Z obr. je zrejmé, že: a2 je obsahom štvorca FGBC b2 je obsahom štvorca AIJC c2 je obsahom štvorca ADEB Porovnaním zhodných útvarov zistíme, že: obsah štvorca FGBC = obsah ∆AHB obsah štvorca AIJC = obsah útvaru ADEBH (je to zostávajúca plocha štvorca ADEB bez ∆AHB) Preto platí: c2 = a2 + b2

Obmena Pytagora Hippokratove mesiačiky Matematik Pappos Prezident Garfield Napoleonova veta

Hippokratove mesiačiky Hippokrates z Chia 460-380 pred n. l. Súčet obsahov dvoch mesiačikov zostrojených nad odvesnami trojuholníka, vpísaného do polkružnice, sa rovná obsahu tohto trojuholníka. Podľa obrázka teda platí: obsah mesiačika (1) + obsah mesiačika (2) = obsah ∆ABC Hippokratove mesiačiky Mesiačiky sú rovinné útvary ohraničené rôznymi kružnicovými oblúkmi. Hippokrates z Chia (460-380 pred n.l.), nemýľte si ho s lekárom Hippokratom z ostrova Kós, autorom Hippokratovej prísahy. Hippokrates zistil a dokázal, že súčet obsahov dvoch mesiačikov zostrojených nad odvesnami trojuholníka, vpísaného do polkružnice, sa rovná obsahu tohto trojuholníka. Podľa obrázka teda platí: obsah mesiačika (1) + obsah mesiačika (2) = obsah ∆ABC

Matematik Pappos Pappos z Alexandrie grécky matematik žil okolo roku 300 n. l. Pre pravouhlý trojuholník platí: Obsah rovnobežníka nad preponou sa rovná obsahu rovnobežníkov nad odvesnami. Narysujeme ľubovoľný ∆ABC nad odvesnami ∆ABC narysujeme rovnobežníky ľubovoľnej veľkosti; predĺžme strany rovnobežníkov (priesečník označíme P); polpriamka PC, PC ∩ AB = {R}, bod Q patrí PC a platí ‌ RQ ‌ = ‌ PC ‌; nad preponou AB zostrojme rovnobežník, ktorého dve strany budú zhodné a rovnobežné s úsečkou RQ. Matematik Pappos Grécky matematik Pappos z Alexandrie (žil okolo roku 300 n. l.) Dokázal zaujímavý variant Pytagorovej vety: Pre pravouhlý trojuholník platí: Obsah rovnobežníka nad preponou sa rovná obsahu rovnobežníkov nad odvesnami. Pappos namiesto štvorcov nad preponou a odvesnami pravouhlého trojuholníka skúmal ľubovoľné rovnobežníky. Ako postupovať pri konštrukcii?! Narysujeme ľubovoľný ∆ABC a postupujeme nasledovne: nad odvesnami trojuholníka zostrojme rovnobežníky ľubovoľnej veľkosti; predĺžme strany rovnobežníkov tak, aby sa preťali v bode P; narysujme polpriamku PC, ktorá pretne stranu AB v bode R a zostrojme na tejto polpriamke bod Q tak, aby platilo ‌ RQ ‌ = ‌ PC ‌; nad preponou AB zostrojme rovnobežník, ktorého dve strany budú zhodné a rovnobežné s úsečkou RQ.

Napoleonova veta Napoleon I. [Bonaparte] 1769-1821 „Rozvoj a úroveň matematiky úzko súvisia s prosperitou štátu.“ Keď nad stranami ľubovoľného trojuholníka zostrojíme tri rovnostranné trojuholníky, potom stredy im opísaných kružníc budú vrcholmi ďalšieho rovnostranného trojuholníka. Napoleonova veta Napoleon I. [Bonaparte] (1769 - 1821) mal zvláštny rešpekt pred matematikmi a matematikou. Dokazujú to aj jeho slová: „Rozvoj a úroveň matematiky úzko súvisia s prosperitou štátu.“ Pripisuje sa mu táto veta: Keď nad stranami ľubovoľného trojuholníka zostrojíme tri rovnostranné trojuholníky, potom stredy im opísaných kružníc budú vrcholmi ďalšieho rovnostranného trojuholníka.

Prezident Garfield James Abraham Garfield 1831 – 1881, 20. prezident USA Využil lichobežník špeciálneho tvaru (3 pravouhlé trojuholníky) Výpočet obsahu: 1. spôsob: obsah lichobežníka = ½ (súčet základní) x (výška) 2. spôsob: obsah lichobežníka = súčet obsahov trojuholníkov Prezident Garfield James Abraham Garfield (1831 – 1881), dvadsiaty prezident USA, sa venoval matematike. V roku 1876, keď bol členom Snemovne reprezentantov, objavil zaujímavý dôkaz Pytagorovej vety. (Tento dôkaz uverejnil časopis New England Journal of Education.) Využil lichobežník špeciálneho tvaru (tvoria ho 3 pravouhlé trojuholníky) a vypočítal jeho obsah dvoma spôsobmi: 1. spôsob: obsah lichobežníka = ½ (súčet základní) x (výška) 2. spôsob: obsah lichobežníka = súčet obsahov trojuholníkov. Garfieldov dôkaz Pytagorovej vety: Zostrojme lichobežník ABCD podľa obrázka tak, aby strana AB ‌ ‌ DC, uhly pri vrcholoch B, C boli pravé a aby strany trojuholníkov mali dĺžku a, b, c. Vypočítajme obsah lichobežníka oboma spôsobmi a navzájom obsahy porovnajme: 1. spôsob = 2. spôsob ½(a + b)(a + b) = ½ab + ½ab + ½cc /:½ (a + b)(a + b) = ab + ab + cc a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 / -2ab a2 + b2 = c2

Pytagoras v praxi Iracionálne číslo Veľké pyramídy

Iracionálne čísla Čísla s nekonečným desatinným rozvojom, v ktorom sa za desatinnou čiarkou neopakuje žiadna skupina číslic, nazývame iracionálne. Postup bol nasledovný: zostrojíme pravouhlý trojuholník s dĺžkou prepôn √2, √3, √5, √6, √7 atď.; pomocou kružidla nájdeme umiestnenie týchto čísel na reálnej osi. Iracionálne čísla Čísla s nekonečným desatinným rozvojom, v ktorom sa za desatinnou čiarkou neopakuje žiadna skupina číslic, nazývame iracionálne. Po stáročia sa matematici usilovali nájsť metódy, ktoré by im pomohli čo najviac sa priblížiť k hodnotám iracionálnych čísel. Využitím výkonných počítačov a nekonečných radov možno dnes iracionálne čísla vyjadriť s ľubovoľnou presnosťou. My sme sa už stretli so zobrazovaním iracionálnych čísel na číselnej (reálnej) osi pričom sme využili Pytagorovu vetu, známu už od stredoveku. Matematici antického Grécka Pytagorovu vetu dokázali a pomocou nej vedeli skonštruovať úsečky s dĺžkou rovnajúcou sa iracionálnym číslam. Postup bol nasledovný: zostrojíme pravouhlý trojuholník s dĺžkou prepôn √2, √3, √5, √6, √7 atď. pomocou kružidla našli umiestnenie týchto čísel na reálnej osi My sme sa stretli aj z využitím Euklidových viet.

Veľké pyramídy Tháles z Milétu (6. stor. pred n. l.) Postup: Obrázok znázorňuje tieň, ktorý vrhá pyramída. Vo vrchole tieňa v bode B kolmo postavíme palicu známej dĺžky ‌ BE ‌. Dĺžka tieňa, ktorý palica vrhá, je ‌ BD ‌. Úsečka AF predstavuje ½ dĺžky strany pyramídy. Výšku pyramídy potom môžeme vypočítať jednoduchým spôsobom pomocou podobných trojuholníkov (∆ABC, ∆BDE): Veľké pyramídy Tháles z Milétu (6. stor. pred n. l.) bol v starovekom Grécku známy ako jeden zo „siedmich mudrcov“. Volali ho otcom deduktívneho myslenia. Položil základný kameň gréckeho štúdia geometrie. Bol matematikom, učiteľom, filozofom, astronómom i bystrím obchodníkom. Ako prvý dôsledne dokazoval svoje geometrické tvrdenia a teórie. V roku 585 pred n. l. správne predpovedal zatmenie Slnka. Ohromil Egypťanov, keď pomocou tieňa vypočítal výšku ich Veľkej pyramídy. Využil pri tom podobné trojuholníky. Postup: Obrázok znázorňuje tieň, ktorý vrhá pyramída. Vo vrchole tieňa v bode B kolmo postavíme palicu známej dĺžky ‌ BE ‌. Dĺžka tieňa, ktorý palica vrhá, je ‌ BD ‌. Úsečka AF predstavuje ½ dĺžky strany pyramídy. Výšku pyramídy potom môžeme vypočítať jednoduchým spôsobom pomocou podobných trojuholníkov (∆ABC, ∆BDE): X / ‌ BE ‌ = ‌ AB ‌ / ‌ BD ‌, a preto x = ‌ BE ‌ . ‌ AB ‌ / ‌ BD ‌

Otázky a odpovede Skúsenosť ukázala (a poznal to už Pytagoras), že sa chytrými otázkami a odpoveďami najlepšie učíme. Najťažšia vec pri riešení matematickej úlohy je položiť správne otázku. A práve na tom je založená matematická genialita. Vhodne volená otázka je viac než polovica riešenia, a často je to jediné, čo pri riešení vyžaduje inšpiráciu.

Ďakujem za pozornosť