Matematika = kráľovná vied Analýza = kráľovná matematiky Matematická analýza 1 Matematika = kráľovná vied Analýza = kráľovná matematiky 

O vyučujúcej... Mária Slavíčková M 147 slavickova@fmph.uniba.sk Vždy sa vopred emailom dohodnite na stretnutí www.ddm.fmph.uniba.sk, časť členovia

O predmete... Prednášky: Cvičenia: Teória – definície, vety, lemy, dôkazy... Cvičenia: Počítanie úloh na pojmy z prednášky (nevyhnutná znalosť toho, čo sa na prednáške robilo)

Študijná literatúra Kubáček-Valášek: Cvičenia z matematickej analýzy 1 Gera-Ďurikovič: Matematická analýza 1 Eliáš-Horváth-Kajan: Zbierka úloh z vyššej matematiky Neubrun-Vencko: Matematická analýza 1 J.Ivan: Matematika 1 Berman: Zbierka úloh z matematickej analýzy

Hodnotenie... Cvičenie: Skúška: Min. 2 písomky z prebranej látky Min.60% z písomiek, aby bolo možné ísť ku skúške Skúška: Písomná a ústna časť Písomná časť – riešenie zadaných úloh, min. 50% aby prechod na ústnu Ústna časť – vysvetlenie pojmu, predvedenie dôkazu...

Na začiatok... Čo je to matematická analýza? Na čo sa ju učíme? Kedy v živote mi ju bude treba?

O čom bude dnešná prednáška Výroky a dôkazy v matematiky Číselné množiny a ich vlastnosti Postupnosti a funkcie

Výroky a operácie s nimi Výrok = veta, o kt. má zmysel hovoriť, či je pravdivá, alebo nepravdivá Negácia výroku = opačná hodnota výroku Skladanie výrokov: Konjunkcia (a) Disjunkcia (alebo) Implikácia (potom) Ekvivalencia (práve vtedy keď)

Negácia zložených výrokov De Morganove pravidlo NDÚ: overiť tabuľkovou metódou

Spôsob overenia platnosti výroku Dôkaz tvrdenia (základné typy dôkazov) Priamy dôkaz Nepriamy dôkaz Dôkaz sporom Dôkaz matematickou indukciou

Priamy dôkaz Vychádza vždy zo ZNÁMEHO faktu a postupnými úpravami/úvahami sa dostávame k tomu, čo vlastne dokázať chceme

Nepriamy dôkaz Predpokladajme, že máme dokázať tvrdenie v tvare: A, potom B Dokazujeme tzv. OBMENU tvrdenia, teda: nie B, potom nie A Sú tieto tvrdenia ekvivalentné?

Dôkaz sporom Opäť máme tvrdenie v tvare A, potom B (čo v prípade, že v takom tvare nie je?) Dokazujeme NEGÁCIU tvrdenia, teda A a súčasne nie B Čo tým dosiahneme? Kde nastáva spor? Naozaj sme dokázali pôvodné tvrdenie?

Matematická indukcia Pre postupnosti čísel Má dva hlavné kroky: 1. Ukážeme platnosť pre najmenší člen skúmanej množiny 2. Predpokladáme, že tvrdenie platí pre prvých „n“ hodnôt (Indukčný Predpoklad) a snažíme sa ukázať, že platí aj pre „n+1“-vú hodnotu

Nutná a postačujúca podmienka Majme výrok B je nutná podmienka pre A A je postačujúca podmienka pre B A B AÞB 1

Číselné množiny N = prirodzené čísla Z = celé čísla Q = racionálne čísla R = reálne čísla R-Q = iracionálne čísla C = komplexné čísla Spočítateľné množiny N Z Q R C

Základné množinové operácie Zjednotenie Prienik Rozdiel Doplnok

Ohraničenosť množiny A v R Dolné ohraničenie množiny: Horné ohraničenie množiny: Ohraničená množina: Je ohraničená zhora aj zdola

Supremum a Infiumum množiny Maximum Najväčší prvok množiny Minimum Najmenší prvok množiny Supremum Najmenšie horné ohraničenie Infimum Najväčšie dolné ohraničenie

Je vôbec rozdiel medzi týmito hodnotami? Keď má množina maximum, má aj supremum? Keď má množina infimum, má aj minimum? NDÚ: určte inf, sup, max, min všetkých číselných množín

Základné vlastnosti sčitovania a násobenia v R Na množine R máme definovanú reláciu rovnosti: R1 R2 R3 reflexívnosť symetrickosť tranzitívnosť

Na množine R máme definovanú operáciu sčítania týmito podmienkami: Z A3 vyplýva: (existencia nulového prvku) (definícia opačného prvku) A1 A2 A3 komutatívnosť asociatívnosť rozdiel 2 čísel

Na množine R máme definovanú operáciu násobenia týmito podmienkami: Z M3 vyplýva: (existencia jednotky) (definícia inverzného prvku) M1 M2 M3 M4 komutatívnosť asociatívnosť podiel distributívnosť

Usporiadanie reálnych čísel Na R je definovaná relácia usporiadania U1 U2 U3 U4 trichotómia tranzitívnosť monotónnosť na + monotónnosť na násobenie

Lema 1: Dôkaz: 1. Predpokladajme, že , potom podľa U3 platí:

Pokračovanie dôkazu LEMY NDÚ: dokončiť dôkaz pre bod 3 a 4

Absolútna hodnota reálneho čísla Nech , potom absolútnu hodnotu čísla definujeme ako najväčšie číslo z množiny ozn.

Vety o absolútnej hodnote Veta 1: Dôkaz: Veta 2:

Do poslednej nerovnosti dosadíme namiesto X výraz X+Y

Veta 3: Dôkaz:

Reálna funkcia Nech Zobrazenie , ktoré každému prvku z A priradí PRÁVE JEDEN prvok z B sa nazýva FUKNCIOU Množina A: definičný obor funkcie Množina B: obor hodnôt funkcie

Rovnosť funkcií Funkcie sa rovnajú práve vtedy, keď: Príklad:

Vlastnosti funkcie Prostá (injektívna) funkcia: Párna funkcia: Nepárna funkcia:

Monotónnosť funkcie Rastúca funkcia: Klesajúca funkcia: Nerastúca funkcia: Neklesajúca funkcia:

Týka sa OBORU HODNÔT danej funkcie Ohraničenosť funkcie Dolné ohraničenie funkcie: Horné ohraničenie funkcie: Ohraničená funkcia: Je ohraničená zhora aj zdola Týka sa OBORU HODNÔT danej funkcie

Graf funkcie Nech je funkcia s definičným oborom Množinu usporiadaných dvojíc nazveme GRAFOM funkcie Príklad:

Elementárne funkcie Lineárne Mocninové Exponenciálne Logaritmické Goniometrické Cyklometrické Hyperbolické

Lineárna funkcia Funkciu s definičným oborom a predpisom nazveme lineárnou Funkciu s definičným oborom a predpisom nazveme funkciou s ABSOLÚTNOU hodnotou

Lineárne lomená funkcia Funkciu s predpisom nazveme NEPRIAMA ÚMERNOSŤ Funkciu s predpisom nazveme LINEÁRNE LOMENÁ funkcia

Lineárne lomená funkcia

Mocninové funkcie

Kvadratická funkcia Funkciu s definičným oborom a predpisom nazveme KVADRATICKOU

Exponenciálna funkcia Funkciu s definičným oborom a predpisom nazveme EXPONENCIÁLNOU

Logaritmická funkcia Funkciu s definičným oborom a predpisom nazveme LOGARITMICKOU

Goniometrické funkcie

Ďalšie goniometrické funkcie Funkcie definované predpismi nazývame SEKANS, resp. KOSEKANS

Goniometrické identity

Cyklometrické funkcie Inverzné funkcie k zúženiam funkcií sínus, kosínus, tangens a kotangens

Definícia hyperbolických funkcii Nech , potom funkcie definované: Hyperbolický sínus Hyperbolický kosínus Hyperbolický tangens Hyperbolický kotangens

Hyperbolické funkcie

Vzťahy medzi hyperbolickými funkciami NDÚ: dokážte platnosť všetkých uvedených vzťahov

Postupnosť Funkcia definovaná na množine prirodzených čísel, ozn.: Skúste prepísať spôsobom, akým sme definovali funkciu Spôsob zadania: Rekurentne Všeobecný tvar Iný opis členov

Vlastnosti postupností Monotónnosť Rastúca postupnosť Klesajúca postupnosť Ohraničenosť Zdola ohraničená postupnosť Zhora ohraničená postupnosť Ohraničená postupnosť

Špeciálne triedy postupností Aritmetická postupnosť Diferencia d Dôležité vzťahy Geometrická postupnosť Kvocient q Dôležité vzťahy

Ďalšie vlastnosti postupností Vlastnosti, ktoré možno skúmať nástrojmi matematickej analýzy O týždeň