KVADRATICKÁ FUNKCIA Mgr. Jozef Vozár 2007

Definícia Kvadratickou funkciou budeme nazývať každú funkciu určenú vzťahom: f: y = ax2 + bx + c kde a,b,c sú z R a okrem toho a<>0. Grafom kvadratickej funkcie je parabola.

Tvary kvadratickej funkcie f: y = x2 x -3 -2 -1 1 2 x2 9 4

Graf f: y = x2

Funkcia f: y = ax2 a = 2

Funkcia f: y = ax2 a = 2 a = 3

Funkcia f: y = ax2 a = 2 a = 3 a = 4

Funkcia f: y = ax2 a = - 2

Funkcia f: y = ax2 a = - 2 a = - 3

Funkcia f: y = ax2 a = - 2 a = - 3 a = - 4

Graf f: y = (x – B)2 A = 2 B = 1

Graf f: y = A(x – B)2 A = 2 B = 1 B = -2

Graf f: y = A(x – B)2 + C B = -2 C = - 3

Vplyv koeficientov na tvar grafu f: y = 2( x + 2)2 – 3 f: y = A( x + B)2 + C A – má vplyv na „rýchlosť“ rastu funkcie B - posúva graf po osi x ( + vľavo, - vpravo) C - posúva graf po osi y ( + hore, - dole)

Vplyv koeficientov na tvar grafu

Úprava na úplný štvorec Úplným štvorcom voláme výraz (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 alebo (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Úprava na úplný štvorec - príklady x2 – 4x + 4 x2 – 2.2x + 4 = (x – 2)2 x2 – 5x + 9 x2 – 2.2,5x + 2,52 - 6,25 + 9 = = (x – 2,5)2 +2,75

Úprava na úplný štvorec - príklady 2x2 – 5x +12 2(x2 - 5/2x + 6) = =2(x – 2.5/4x + 25/16 – 25/16 + 6) = 2((x – 5/4)2 – 25/16 + 96/16)= = 2 (x – 5/4)2 – 71/8

Úprava na úplný štvorec - všeobecne ax2 + bx + c a(x2 + b/ax + c/a)= = a(x2 + 2.b/2a.x + (b/2a)2 - (b/2a)2 +c/a)= a((x + b/2a)2 - (b/2a)2 +c/a))= = a((x + b/2a)2 + (b2 -4ac)/4a2)= = a(x + b/2a)2 + (b2 - 4ac)/4a

Diskriminant Výraz: D = b2 - 4ac nazývame diskriminat ( z lat. discriminare – rozlišovať)

Využitie pri kvadratickej funkcii ax2 + bx + c =a(x + b/2a)2 + (b2 - 4ac)/4a ax2 + bx + c =a(x + b/2a)2 + D/4a Takto je možné nakresliť graf kvadratickej funkcie f: y = ax2 + bx + c

Nakresli graf funkcie f: y = 3x2 + 4x + 5 f: y = 3(x + 2/3)2 + 11/3 B = 2/3 - doľava C = 11/3 - hore

Základná fcia Základná fcia f:y=x2

Posunutie po osiach

ax2 + bx + c =a(x + b/2a)2 + D/4a Vlastnosti Na grafe sa dá rozoznať výrazný bod – extrém funkcie ak a> 0 - minimum a< 0 – maximum Hodnotu výrazu ax2 + bx + c =a(x + b/2a)2 + D/4a určuje výraz v zátvorke. Takže ak a>0 je najmenšia hodnota výrazu D/4a a to je vtedy ak x = -b/2a. Prečo_?

Vrchol paraboly Ak a<0 potom najväčšia hodnota výrazu je ak x = -b/2a a je D/4a. Toto sú vlastne extrémy. Bod v ktorom je extrém sa nazýva vrchol paraboly. Podľa predchádzajúcich výpočtov má teda súradnice: V[-b/2a ; D/4a] = [-b/2a ; (b2 - 4ac) /4a]