Obchodní akademie, Střední odborná škola a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Hradec Králové Autor: Mgr. Lenka Marková Název materiálu: VY_32_INOVACE_1_ROVNICE_15 Jednoduché logaritmické rovnice Téma sady: Rovnice Obor, ročník: Ekonomické lyceum a obchodní akademie, 2. a 4. ročník Datum vytvoření: listopad 2013 Anotace: Početní řešení jednoduchých logaritmických rovnic Metodický obsah: Výklad nového učiva, příklady na procvičení, ve 4. ročníku k opakování učiva. Prezentace je určena jako podklad pro výklad v hodině, ale i k samostudiu formou e-learningu.

Jednoduché logaritmické rovnice Základní logaritmické rovnice Jde o rovnice s neznámou 𝑥, které řešíme pomocí definice logaritmu, t. j. Tím logaritmické rovnice převedeme na jiný typ rovnic (lineární, s neznámou ve jmenovateli, kvadratickou, …). log 𝑎 𝑥 =𝑦 ⟺ 𝑎 𝑦 =𝑥 𝑥∈ ℛ + , 𝑎∈ 0, 1 ∪ 1, ∞ „logaritmus o základu 𝑎 proměnné 𝑥 se rovná 𝑦 právě tehdy, když 𝑎 na y rovná se 𝑥"

Jednoduché logaritmické rovnice Př. 1a) Řešte v ℛ: log 2 𝑥 =3 Př. 1b) Řešte v ℛ: log 3 𝑥 = 5 2 podm.: 𝑥>0 𝑥∈ 0, ∞ 𝑥= 2 3 𝑥=8 𝒦={8} splňuje podm. podm.: 𝑥>0 𝑥∈ 0, ∞ 𝑥= 3 5 2 𝑥= 3 5 𝑥= 3 4 ∙3 𝑥=9 3 𝒦={9 3 } splňuje podm.

Jednoduché logaritmické rovnice Př. 1c) Řešte v ℛ: log 5 𝑥+1 =3 Př. 1d) Řešte v ℛ: log 3 𝑥 2 −8𝑥 =2 podm.: 𝑥+1>0 𝑥>−1 𝑥+1= 5 3 𝑥∈ −1, ∞ 𝑥+1=125 𝑥=124 𝒦={124} splňuje podm. podm.: 𝑥 2 −8𝑥>0 𝑥 𝑥−8 >0 𝑥 2 −8𝑥= 3 2 + - + 𝑥 2 −8𝑥−9=0 0 8 𝑥−9 𝑥+1 =0 𝑥∈ −∞, 0 ∪ 8,∞ 𝑥 1 =−1 𝑥 2 =9 𝒦={−1, 9} splňují podm.

Jednoduché logaritmické rovnice II. Logaritmické rovnice řešené pomocí vět o logaritmech Jde o logaritmické rovnice s neznámou 𝑥, které řešíme tak, že se je snažíme pomocí vět o logaritmech a ekvivalentními úpravami převést na tvar, ve kterém bychom na obou stranách rovnice dostali jeden logaritmus se stejným základem , t. j. Tím logaritmické rovnice převedeme na jiný typ rovnic (lineární, s neznámou ve jmenovateli, kvadratickou, …). 𝑎 ∈ 0, 1 ∪ 1, ∞ log 𝑎 𝑓 𝑥 = log 𝑎 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 =𝑔 𝑥 základy logaritmů se sobě rovnají musí se sobě rovnat argumenty

Jednoduché logaritmické rovnice Věty o logaritmech: Nechť 𝑥,𝑦 ∈ ℛ + , 𝑎∈ ℛ + , 𝑟∈ℛ− 0 , potom platí: log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦 = log 𝑎 𝑥𝑦 log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦 = log 𝑎 𝑥 𝑦 𝑟 log 𝑎 𝑥 = log 𝑎 𝑥 𝑟 Při řešení užíváme i definici logaritmu a z ní plynoucí vztahy: log 𝑎 𝑥 =𝑦 ⟺ 𝑎 𝑦 =𝑥 𝑥∈ ℛ + , 𝑎∈ 0, 1 ∪ 1, ∞ 𝑎 log 𝑎 𝑥 =𝑥 log 𝑎 𝑎 =1 log 𝑎 1 =0

Jednoduché logaritmické rovnice Řešte v ℛ: Př. 1a) log 3 𝑥+5 = log 3 2𝑥−1 Př. 1b) log 2𝑥−3 − log 𝑥+1 =− log 3 podm.: log 3 𝑥+5 = log 3 2𝑥−1 𝑥+5>0 ∧ 2𝑥−1>0 𝑥> 1 2 𝑥+5=2𝑥−1 𝑥>−5 𝑥=6 𝒦={6} splňuje podm. 𝑥∈ 1 2 , ∞ podm.: log 2𝑥−3 𝑥+1 = log 3 −1 2𝑥−3>0 ∧ 𝑥+1>0 𝑥> 3 2 𝑥>−1 2𝑥−3 𝑥+1 = 1 3 ∙3 𝑥+1 𝑥∈ 3 2 , ∞ 3 2𝑥−3 =x+1 6𝑥−9=x+1 𝑥=2 𝒦={2} splňuje podm.

Jednoduché logaritmické rovnice Řešte v ℛ: Př. 1c) log 3 𝑥 + log 3 𝑥+1 =2− log 3 3 2 podm.: log 3 𝑥 𝑥+1 =2 log 3 3− log 3 3 2 𝑥>0 ∧ 𝑥+1>0 𝑥>−1 log 3 𝑥 𝑥+1 = log 3 3 2 − log 3 3 2 𝑥∈ 0, ∞ log 3 𝑥 𝑥+1 = log 3 9 3 2 log 3 𝑥 𝑥+1 = log 3 6 𝑥 𝑥+1 =6 𝑥 2 +𝑥−6=0 𝑥−2 𝑥+3 =0 𝑥 1 =2 ∨ 𝑥 2 =−3 nesplňuje podm. 𝒦={2} splňuje podm.

Jednoduché logaritmické rovnice III. Logaritmické rovnice řešené substitucí vedoucí na kvadratickou rovnici Jde o logaritmické rovnice s neznámou 𝑥, které ekvivalentními úpravami převedeme na tvar, v němž dostaneme druhou mocninu logaritmu: Je třeba rozlišovat: log 𝑎 𝑥 2 log 𝑎 𝑥= log 𝑎 𝑥 2 = log 𝑎 𝑥 ∙ log 𝑎 𝑥 2 „logaritmus na druhou 𝑥 o základu 𝑎“ log 𝑎 𝑥 2 =2∙ log 𝑎 𝑥 = log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑥 „logaritmus 𝑥 na druhou o základu 𝑎“

Jednoduché logaritmické rovnice Pro zjednodušení výpočtu zavedeme novou proměnnou, čímž dostaneme kvadratickou rovnici. Po jejím řešení se vrátíme k substituci a dopočítáme původní neznámou . Řešte v ℛ: Př. 1a) log 𝑥 + 1 log 𝑥 =2 𝑥 podm.: ∙ log 𝑥 𝑥>0 ∧ log 𝑥 ≠0 2 𝑥≠ 10 0 log 𝑥 +1= 2 log 𝑥 subst.: log 𝑥 =𝑎 𝑥≠1 𝑎 2 −2𝑎+1=0 𝑥∈ 0, 1 ∪ 1, ∞ 𝑎−1 2 =0 𝑎=1 log 𝑥 =1 𝑥=10 𝒦={10} splňuje podm.

Jednoduché logaritmické rovnice Řešte v ℛ: Př. 1b) log 𝑥 − log 𝑥 4 +3 =0 2 podm.: 𝑥>0 2 log 𝑥 −4 log 𝑥+3=0 𝑥∈ 0,∞ subst.: log 𝑥 =𝑎 𝑎 2 −4𝑎+3=0 𝑎−3 𝑎−1 =0 𝑎 1 =3 log 𝑥 =3 𝑥 1 =1000 𝒦={10, 1000} splňují podm. 𝑎 2 =1 log 𝑥 =1 𝑥 2 =10

Jednoduché logaritmické rovnice IV. Logaritmické rovnice řešené logaritmováním Jde o logaritmické rovnice s neznámou 𝑥 v základu mocniny a exponentem obsahujícím log 𝑎 𝑓 𝑥 . Tyto rovnice řešíme logaritmováním obou stran rovnice. Při logaritmování volíme logaritmus o stejném základu jako má logaritmus v exponentu. Úpravy vedou k substituci logaritmu a řešení kvadratické rovnice.

Jednoduché logaritmické rovnice Řešte v ℛ: Př. 1a) 𝑥 log 2 𝑥 =4𝑥 𝑧𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑢𝑗𝑒𝑚𝑒 log 2 podm.: 𝑥>0 𝑥∈ 0, ∞ log 2 𝑥 log 2 𝑥 = log 2 4𝑥 log 2 𝑥 ∙ log 2 𝑥 = log 2 4𝑥 2 log 2 𝑥 = log 2 2 2 + log 2 𝑥 subst.: log 2 𝑥 =𝑎 𝑎 2 −𝑎−2=0 𝑎−2 𝑎+1 =0 𝑎 1 =2 log 2 𝑥 =2 𝑥 1 =4 𝒦={ 1 2 , 4} splňují podm. 𝑎 2 =−1 log 2 𝑥 =−1 𝑥 2 = 1 2

Jednoduché logaritmické rovnice Řešte v ℛ: Př. 1b) 𝑥 3+ 4log 𝑥 =10 𝑥 6 𝑧𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑢𝑗𝑒𝑚𝑒 log podm.: 𝑥>0 𝑥∈ 0, ∞ log 𝑥 3+ 4log 𝑥 = log 10 𝑥 6 3+ 4log 𝑥 ∙ log 𝑥 = log 10 + log 𝑥 6 2 3 log 𝑥 + 4log 𝑥 =1+6 log 𝑥 subst.: log 𝑥 =𝑎 výpočet kořenů KR 4𝑎 2 −3𝑎−1=0 𝑎 1 =1 log 𝑥 =1 𝒦={10, 4 1000 10 } 𝑥 1 =10 splňují podm. 𝑎 2 =− 1 4 log 𝑥 =− 1 4 ∙ 4 10 3 4 10 3 𝑥 2 = 10 − 1 4 = 1 4 10 = 4 1000 10

Jednoduché logaritmické rovnice Procvičování: Řešte v ℛ: 3+ log 𝑥 2− log 𝑥 =4 log 5 2𝑥+9 + log 5 4−3𝑥 =2+ log 5 4+𝑥 log 2 𝑥− 1 log 2 𝑥 + 3 2 =0 𝑥 log 7 𝑥 2 =49 𝑥 3 výsledek a podmínky příkladu 1) 𝒦= 10 , 𝑥∈ 0,100 ∪ 100,∞ výsledek a podmínky příkladu 2) 𝒦= −2 , 𝑥∈ −4, 4 3 výsledek a podmínky příkladu 3) 𝒦= 2 , 1 4 ,𝑥∈ 0,1 ∪ 1,∞ 𝒦= 49, 7 7 ,𝑥∈ 0,∞ výsledek a podmínky příkladu 4)

Všechna neocitovaná autorská díla jsou dílem autora. Zdroje, autorská práva . HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů : rovnice a nerovnice. 1. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2006, 556 s. ISBN 80-903-8610-5. Všechna neocitovaná autorská díla jsou dílem autora. Všechny neocitované kliparty jsou součástí prostředků MS Office. „Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoli další využití podléhá autorskému zákonu.“