DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL zpracovaný v rámci projektu Registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0807 Název projektu: EU peníze středním školám Gymnázium a Střední odborná škola, Podbořany, příspěvková organizace Šablona:III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Sada: Kuželosečky v gymnaziálním učivu Ověření ve výuce Třída: septima a oktáva Datum: 17. 6. 2013 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Marie Honzlová. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz; ISSN 1802-4785. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).

TÉMA: Elipsa a přímka PŘEDMĚT: matematika KLÍČOVÁ SLOVA: elipsa, vrcholy elipsy, ohniska elipsy, tečna elipsy, bod dotyku JMÉNO AUTORA: Mgr. Marie Honzlová

Metodický pokyn: Úkolem materiálu je analyticky řešit problém vzájemné polohy přímky a elipsy. Hlavní pozornost je věnována rovnici tečny elipsy.

Vzájemná poloha přímky a elipsy Žádný společný bod Jeden společný bod (tečna) Dva společné body

Příklad č. 1 Určete vzájemnou polohu přímky, která je vyjádřena rovnicí 7x + 2y + 9 = 0, a elipsy s rovnicí 3(x + 4)2 + 2(y + 1)2 = 10.

Řešení: Řešíme-li vzájemnou polohu přímky a elipsy, hledáme jejich společné body, tj. řešíme soustavu dvou rovnic se dvěma neznámými (souřadnice průsečíku). p: 7x + 2y + 9 = 0 ⇒ y = - 1 2 (7x + 9) 𝓔: 3(x + 4)2 + 2(y + 1)2 = 10 Po dosazení a úpravě máme rovnici: 55x2 + 146x + 125 = 0

Diskriminant této rovnice D = - 6184 < 0, tj Diskriminant této rovnice D = - 6184 < 0, tj. rovnice nemá v R řešení. Závěr: Přímka a elipsa nemají žádný společný bod.

Příklad č. 2 Určete vzájemnou polohu přímky p: y = x a elipsy 𝓔: (x - 6)2 + 5(y - 5)2 = 20.

Řešení: Po dosazení za y do rovnice elipsy a po úpravě získáme kvadratickou rovnici: 6x2 - 62x + 141 = 0. Tato rovnice má dvě řešení: x1 = 31− 115 6 , x2 = 31+ 115 6 . Po dosazení do vztahu y = x získáme y1 = 31− 115 6 , y2 = 31+ 115 6 .

Závěr: Přímka protíná elipsu ve dvou bodech Q1 [ 𝟑𝟏− 𝟏𝟏𝟓 𝟔 , 𝟑𝟏− 𝟏𝟏𝟓 𝟔 ] a Q2 [ 𝟑𝟏+ 𝟏𝟏𝟓 𝟔 , 𝟑𝟏+ 𝟏𝟏𝟓 𝟔 ].

Jedná se o přímku, která má s elipsou právě jeden společný bod. Tečna elipsy Jedná se o přímku, která má s elipsou právě jeden společný bod.

Rovnice tečny elipsy 𝓔: 𝒙 − 𝒎 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒚 − 𝒏 𝟐 𝒃 𝟐 =𝟏 v bodě T[x0, y0] t: 𝒙 𝟎 − 𝒎 𝒙 −𝒎 𝒂 𝟐 + 𝒚 𝟎 − 𝒏 𝒚 − 𝒏 𝒃 𝟐 =𝟏

Příklad č. 3 Napište rovnici tečny elipsy 𝓔: 𝒙 − 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 + 𝒚 + 𝟑 𝟐 𝟐 =𝟏 v jejím bodě T[0, −3+ 2 2 ] .

Řešení: t: x 0 −3 x −3 12 + y 0 + 3 y + 3 2 =1 T[0, −3+ 2 2 ] ∈ t: 0 −3 x −3 12 + −3+ 2 2 + 3 y + 3 2 =1 po úpravě t: x – 𝟐 y + 1 - 3 𝟐 = 0

Příklad č. 4 Určete rovnice tečen elipsy 𝓔: 5x2 + y2 = 5, které procházejí bodem M[-1, 5].

Řešení: Po dosazení souřadnic bodu M [-1, 5] do rovnice elipsy jsme zjistili, že bod M není bodem elipsy. Hledaná tečna je určena bodem M a bodem T[x0, y0] elipsy. t: 5x0x + y0y = 5 T ∈𝓔: 5x02 + y02 = 5 M ∈ t: - 5x0 + 5y0 = 5

Řešením dvou rovnic s neznámými x0 a y0 získáme dva body dotyku tečen z bodu M k elipse 𝓔 : T1[-1, 0] a T2[ 2 3 , 5 3 ]. Souřadnice bodů dotyku dosadíme do rovnice tečny a upravíme. Hledané tečny mají rovnice: t1: x + 1 = 0 t2: 2x + y – 3 = 0

ZDROJE: ŠEDIVÝ, J. Matematika pro III. ročník gymnázií. 1. vyd. Praha: SPN, 1986. s. 250–267. KOČANDRLE, M., BOČEK, L. Matematika pro gymnázia, Analytická geometrie. 2. vyd. Praha: Prometheus,1995. ISBN 8071961639. s. 165–169.