Část II – Skládání kmitů, vlny Kmity, vlny, akustika Část II – Skládání kmitů, vlny Pavel Kratochvíl Plzeň, 2013 - ZS

Skládání harmonických kmitů Uvažujme situaci, kdy těleso koná v jedné rovině zároveň dva na sobě nezávislé(!) kmitavé harmonické pohyby. Bude nás zajímat výsledný průběh výchylky z rovnovážné polohy na čase Budeme rozlišovat dva základní případy: I) směry obou kmitání jsou shodné (skládání rovnoběžných kmitů) II) kmitání jsou navzájem kolmé (skládání kolmých kmitů) Dvě pružiny spojené gumovým vláknem. Pokud zanedbáme sílu působící ve vlákně, je pohyb bodu S dán složením kmitů obou pružin (polovina výchylky od každé) Samozřejmě by šlo uvažovat i obecný případ, kdy je úhel mezi kmity jiný než 0° či 90°, tím se však nebudeme zabývat (matematicky náročné)

Skládání rovnoběžných kmitů Platí princip superpozice: celková výchylka y je dána součtem výchylek jednotlivých kmitání y1 a y2, tj. y = y1 +y2 (výchylky mají kladné i záporné znaménko podle směru vychýlení z RP) Při skládání rovnoběžných kmitů velmi záleží na tom, v jakém vztahu jsou frekvence obou kmitání. Frekvence jsou si rovny (ω1 = ω2) - složené kmitání je harmonické s frekvencí ω = ω1 = ω2

Skládání rovnoběžných kmitů 2 Jak bude určena výsledná amplituda (maximální výchylka) A složeného kmitání pomocí výchylek A1 a A2 skládaných kmitání? Bude záviset na fázovém posunu φ mezi oběma kmitáními! Platí: Speciální případy: φ = 0 → A = A1+ A2 (kmitání ve fázi), φ = π (180°) → A = A1 - A2 (kmitání v protifázi) φ = π (180°), A1 = A2 → A=0 (kmitání zaniká)

Skládání rovnoběžných kmitů 3 B) Frekvence jsou rozdílné ω1 ≠ ω2. - v takovém případě vzniká vždy neharmonické kmitání. Pokud lze podíl frekvencí vyjádřit podílem celých čícel (např. ), vzniká periodické kmitání (významné v akustice). Pokud je podíl frekvencí vyjádřen iracionálním číslem (např. √2), získáváme neperiodický průběh kmitání!

Skládání rovnoběžných kmitů 4 - rázy Zajímavá situace nastává, pokud jsou si frekvence ω1 a ω2 velmi blízké. V takovém případě dochází k periodickému zesilování a zeslabování složeného kmitání – tzv. rázy. Pokud mluvíme o zesilování zeslabování zvuku, používá se pojem zázněje Využití: měření frekvence neznámých kmitů, když máme k dispozici kmity se známou frekvencí (při shodě rázy zaniknou)

Skládání kolmých kmitů Dochází-li k navzájem kolmým kmitům, jejichž frekvence jsou v celočíselném poměru, tj. ω1: ω2 = m/n (m a n jsou malá celá čísla), vznikají jejich složením tzv. Lissajousovy obrazce. Při matematické popisu samozřejmě opět platí princip superpozice, tentokrát však již ve vektorovém tvaru (máme dva směry) Nejjednodušší případ - ω1 = ω2, A1 = A2 a fázový posuv φ = π/2 (90°) – obrazcem je kružnice https://www.youtube.com/watch?v=rUaS37GZorg Čas:5:20-5:50 !! Obrazce pro poměr frekvencí 1:1, stejné amplitudy a různé fázové posuvy Obrazce pro poměr frekvencí 2:1, stejné amplitudy a různé fázové posuvy

Mechanické vlnění = šíření kmitavého pohybu v látkovém prostředí Prostředí musí obsahovat pružně vázané objemové elementy (na rozdíl od elektromagnetického vlnění se nešíří ve vakuu) Částice se nepřemisťují, pouze kmitají Postupné podélné vlnění (zvuk) – kmitání ve směru šíření Postupné příčné vlnění – kmitání kolmo na směr šíření https://www.youtube.com/watch?v=yd-G6KYwzvA

Mechanické vlnění 2 bodová řada pružně vázaných objemových elementů Fázová rychlost v= rychlost šíření vlny = rychlost, jakou se šíří stejný stav Vlnová délka λ vzdálenost dvou míst, která při šíření vlnění kmitají se stejnou fází λ= v*T = v/f, kde v je rychlost šíření vlnění a T perioda

Mechanické vlnění 3 - rovnice Uvažujme, že zdroj vlnění kmitá harmonicky podle vztahu: Do místa ve vzdálenosti x od zdroje se vlnění šířící se rychlostí v dostane za čas: Pro jeho výchylku v závislosti na čase t a vzdálenosti x tak dostáváme: Tato rovnice nám při znalosti vlnové délky a frekvence (periody) zdroje umožní spočítat výchylku z rovnovážné polohy v daném čase t v dané vzdálenosti x od zdroje (je to funkce dvou proměnných, času a polohy!)

Skládání (interference) vlnění Co se stane, pokud se setkají dvě vlnění z různých zdrojů (např. dvě vlny na rybníce vzniklé dopadem kamenů)? Dojde k jejich složení (interferenci) podle principu superpozice. Uvažujme případ skládání dvou vlnění se stejnou vlnovou délkou λ a stejnou amplitudou A1, která se šíří v přímé řadě bodů. O amplitudě výsledného vlnění rozhoduje tzv. dráhový rozdíl d, který je roven rozdílu vzdáleností zdrojů vlnění. Pro amplitudu výsledného vlnění platí: Pro cos(π*d/λ) = 1, bude A = 2*A1 (interferenční maximum) Pro cos(π*d/λ) = 0, bude A = 0 (interferenční minimum) Interfer. maximum Interfer. minimum

Stojaté vlnění Pokud uchytíme hadici na jednom konci a druhým koncem začneme kmitat, můžeme po chvíli pozorovat, že některé body hadice mají maximální výchylku, jiné nekmitají vůbec. Proč? Vlnění se na konci hadice odrazí a postupuje zpět. Skládá se s vlněním postupujícím ke konci hadice (obě mají stejnou amplitudu) a záleží tedy na jejich dráhovém rozdílu. V místech, kde nastává interferenční maximum, je amplituda maximální (A = 2*A1), vznikají zde tzv. kmitny. V místech, kde je interferenční minimum, je A = 0, vznikají zde uzly. Souhrnně se hovoří o tzv. stojatém vlnění! Poznámka: Stojaté vlnění je velmi významné i u elektromagnetického vlnění, vzniká například v mikrovlnné troubě.

Stojaté vlnění To, kde konkrétně budou uzly a kde kmitny, silně závisí na tom, zda je konec hadice pevně uchycen (tzv. odraz na pevném konci) nebo zda může kmitat (odraz na volném konci). Na pevném konci je samozřejmě uzel, kmitny a uzly se poté střídají vždy po polovinách vlnové délky. Naopak na volném konci je vždy kmitna, opět dochází k periodickému střídání kmiten a uzlů po polovinách vlnové délky. Je důležité si uvědomit, že všechny body kmitají s frekvencí rovnou frekvenci zdroje, liší se pouze tím jako mají amplitudu (kmitny maximální, uzly žádnou, ostatní něco mezi)! Využití: Kytara – stojatá vlna na struně Ladička – bedýnka délky Varhany – stojatá vlna v trubici otevřená x uzavřená trubice V hudebních nástrojích vznikají stojaté vlny, zesilující určité tóny

Chvění mechanických soustav Specifickým případem stojatého vlnění je tzv. chvění, které vzniká rozkmitáním pružných těles (struna, deska, tyč apod.) Toto vlnění může mít více frekvencí, základní frekvence je třeba v případě struny dána vztahem f = v/2*l, kde l je délka struny. Další frekvence jsou celočíselné násobky základní frekvence. Pokud chci základní frekvenci struny změnit, musím buď změnit její délku nebo změnit rychlost šíření vlnění v ní (to udělám např. změnou napínací síly, více o tom v dalších přednáškách) Zajímavý případ chvění ve více rozměrech – Chladniho obrazce