Parametrické vyjádření roviny Název projektu: Moderní škola Parametrické vyjádření roviny Mgr. Martin Krajíc   11.5.2014 matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

Parametrické vyjádření roviny rozlišujeme dva základní typy rovnic roviny: parametrické vyjádření obecná rovnice

Parametrické vyjádření roviny Rovina je určena: třemi body, které neleží na jedné přímce x A x B x C přímkou a bodem, který na ní neleží x D p dvěma různými rovnoběžnými přímkami p q dvěma různoběžnými přímkami p

Parametrické vyjádření roviny Rovina je dána třemi body A, B, C, které neleží na jedné přímce. Označíme směrové vektory roviny u = AB, v = AC. Potom libovolný bod X roviny získáme: X = A + t.u + s.v t, s … parametry (reálná čísla) Tato rovnice se nazývá parametrická rovnice roviny ABC. Ax x B v x C s.v x X t.u u

Parametrické vyjádření roviny vyjádříme body A, X a směrové vektory u, v v souřadnicích: A[a1, a2, a3], X[x, y, z], u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) parametrické vyjádření v souřadnicích: x = a1 + tu1 + sv1 y = a2 + tu2 + sv2 z = a3 + tu3 + sv3 t, s ɛ R

Parametrické vyjádření roviny Př: Napište parametrické vyjádření roviny ABC, jestliže A[2, -5, 6], B[1, 3, -2], C[3, 2, -1] vypočítáme souřadnice směrového vektoru: u = AB = B – A = (-1, 8, -8), v = AC = C – A = (1, 7, -7) zapíšeme do parametrického vyjádření v souřadnicích: x = 2 + (-1)t + 1s y = -5 + 8t + 7s z = 6 - 8t + (-7)s t,s ɛ R upravíme: x = 2 – t + s y = -5 + 8t + 7s z = 6 – 8t – 7s t, s ɛ R

Parametrické vyjádření roviny Př: Zjistěte, zda bod M[-1, -1, 3] leží v rovině ABC, jestliže A[1, 2, -1], B[3, 1, 1], C[-1, 1, 0] směrové vektory u = AB = (2, -1, 2), v = AC = (-2, -1, 1) sestavíme parametrické vyjádření: x = 1 + 2t – 2s y = 2 – t – s z = -1 + 2t + s t, s ɛ R do parametrického vyjádření dosadíme za x, y souřadnice M a zjišťujeme, zda existují t,s ɛ R taková, aby soustava byla platná -1 = 1 + 2t – 2s -1 = 2 – t – s 3 = -1 + 2t + s

Parametrické vyjádření roviny čísla t, s vypočítáme z prvních dvou rovnic -1 = 1 + 2t – 2s -1 = 2 – t – s /.2 -2 = 4 – 2t – 2s -3 = 5 – 4s s = 2 ověříme, zda čísla vyhovují i třetí rovnici 3 = -1 + 2.1 + 2 3 = 3 -1 = 1 + 2t – 2s -1 = 1 + 2t – 2.2 t = 1 čísla t, s vyhovují všem třem rovnicím, bod M leží v rovině ABC

Parametrické vyjádření roviny Př: Zjistěte, zda body A, B, C, D leží v jedné rovině, jestliže A[1, 0, 0], B[3, 1, 1], C[-1, -2, 1], D[1, 1, 1] zjišťujeme, zda bod D leží v rovině ABC směrové vektory u = AB = (2, 1, 1), v = AC = (-2, -2, 1) sestavíme parametrické vyjádření: x = 1 + 2t – 2s y = t – 2s z = t + s t, s ɛ R do parametrického vyjádření dosadíme za x, y souřadnice M a zjišťujeme, zda existují t,s ɛ R taková, aby soustava byla platná 1 = 1 + 2t – 2s 1 = t – 2s 1 = t + s

Parametrické vyjádření roviny čísla t, s vypočítáme z prvních dvou rovnic 1 = 1 + 2t – 2s 1 = t – 2s /.(-1) -1 = -t + 2s 0 = 1 + t t = -1 ověříme, zda čísla vyhovují i třetí rovnici 1 = -1 - 1 1 = -2 1 = 1 + 2t – 2s 1 = 1 + 2.(-1) – 2s s = -1 čísla t, s nevyhovují třetí rovnici, body A,B,C,D neleží v jedné rovině

Parametrické vyjádření roviny – samostatná práce Řešte příklady a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení). Marcus Fabius Quintilianus: „Nezáživný učitel ……… jako vyprahlá půda pro něžné rostliny.“ Napište parametrické vyjádření roviny ABC: A[1, 0, 1], B[1, 2, 3], C[2, 3, -1] a) J = (x = 1 + s, y = t + 3s, z = 1 + t – 2s) b) M = (x = 1 + s, y = t + 3s, z = 1 + t – 2s) Zjistěte, zda body A, B, C, D leží v jedné rovině, jestliže A[1, 2, 6], B[-1, 1, 1], C[1, 3, 7], D[3, -5, 3] a) E = ano b) Á = ne

Parametrické vyjádření roviny – správné řešení Marcus Fabius Quintilianus: „Nezáživný učitel …… jako vyprahlá půda pro něžné rostliny.“ JE

Parametrické vyjádření roviny – použitá literatura KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2009 SVOBODA, Martin. Http://citaty.net [online]. [cit. 2014-05-11].