ŠKOLA: Městská střední odborná škola, Klobouky u Brna, nám. Míru 6, příspěvková organizace ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/1.5.00/34.1020 NÁZEV PROJEKTU: Peníze do škol ČÍSLO ŠABLONY: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT AUTOR: Mgr. Vítězslav Kurz TEMATICKÁ OBLAST: Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika NÁZEV DUMu: Faktoriál POŘADOVÉ ČÍSLO DUMu: 03 KÓD DUMu: VY_32_INOVACE_2_3_03_KUR DATUM TVORBY: 10.6. 2013 ANOTACE (ROČNÍK): Prezentace je určena pro použití v předmětu Seminář z matematiky, který je vyučován ve 3. a 4. ročníku. Je vytvořena k použití ve vyučovací hodině, je možno ji však použít i k samostudiu při přípravě k maturitě.

Doporučené vzorce Pro všechny celá nezáporná čísla n faktoriál čísla n definován jako: 𝑛!=𝑛∙ 𝑛−1 !⋀0!=1 Tedy konkrétně například: 4!=4∙3!=4∙3∙2!=4∙3∙2∙1!=4∙3∙2∙1∙0!=4∙3∙2∙1∙1=24

Faktoriál Př.1: Vypočítejte: a) 8! 5!∙3! b) 7!+6!+5! 8!−7! Př.3: Řešte rovnici s neznámou 𝑛∈ℕ:30𝑛!=(𝑛+2)!

Příklad 1 a) 8! 5!∙3! = Př.1: Vypočítejte: a) 8! 5!∙3! b) 7!+6!+5! 8!−7! a) 8! 5!∙3! =

Příklad 1 a) 8! 5!∙3! = 8∙7∙6∙5! 5!∙3! = Př.1: Vypočítejte: a) 8! 5!∙3! b) 7!+6!+5! 8!−7! a) 8! 5!∙3! = 8∙7∙6∙5! 5!∙3! =

Příklad 1 a) 8! 5!∙3! = 8∙7∙6∙5! 5!∙3! = 8∙7∙6 3∙2 = Př.1: Vypočítejte: a) 8! 5!∙3! b) 7!+6!+5! 8!−7! a) 8! 5!∙3! = 8∙7∙6∙5! 5!∙3! = 8∙7∙6 3∙2 =

Příklad 1 a) 8! 5!∙3! = 8∙7∙6∙5! 5!∙3! = 8∙7∙6 3∙2 =8∙7=56 Př.1: Vypočítejte: a) 8! 5!∙3! b) 7!+6!+5! 8!−7! a) 8! 5!∙3! = 8∙7∙6∙5! 5!∙3! = 8∙7∙6 3∙2 =8∙7=56

Příklad 1 a) 8! 5!∙3! = 8∙7∙6∙5! 5!∙3! = 8∙7∙6 3∙2 =8∙7=56 Př.1: Vypočítejte: a) 8! 5!∙3! b) 7!+6!+5! 8!−7! a) 8! 5!∙3! = 8∙7∙6∙5! 5!∙3! = 8∙7∙6 3∙2 =8∙7=56 b) 7!+6!+5! 8!−7! =

Příklad 1 a) 8! 5!∙3! = 8∙7∙6∙5! 5!∙3! = 8∙7∙6 3∙2 =8∙7=56 Př.1: Vypočítejte: a) 8! 5!∙3! b) 7!+6!+5! 8!−7! a) 8! 5!∙3! = 8∙7∙6∙5! 5!∙3! = 8∙7∙6 3∙2 =8∙7=56 b) 7!+6!+5! 8!−7! = 5!(7∙6+6+1) 5!(8∙7∙6−7∙6) =

Příklad 1 a) 8! 5!∙3! = 8∙7∙6∙5! 5!∙3! = 8∙7∙6 3∙2 =8∙7=56 Př.1: Vypočítejte: a) 8! 5!∙3! b) 7!+6!+5! 8!−7! a) 8! 5!∙3! = 8∙7∙6∙5! 5!∙3! = 8∙7∙6 3∙2 =8∙7=56 b) 7!+6!+5! 8!−7! = 5!(7∙6+6+1) 5!(8∙7∙6−7∙6) = 7∙6+7 8∙7∙6−7∙6 =

Příklad 1 a) 8! 5!∙3! = 8∙7∙6∙5! 5!∙3! = 8∙7∙6 3∙2 =8∙7=56 Př.1: Vypočítejte: a) 8! 5!∙3! b) 7!+6!+5! 8!−7! a) 8! 5!∙3! = 8∙7∙6∙5! 5!∙3! = 8∙7∙6 3∙2 =8∙7=56 b) 7!+6!+5! 8!−7! = 5!(7∙6+6+1) 5!(8∙7∙6−7∙6) = 7∙6+7 8∙7∙6−7∙6 = 7∙7 7∙7∙6 =

Příklad 1 a) 8! 5!∙3! = 8∙7∙6∙5! 5!∙3! = 8∙7∙6 3∙2 =8∙7=56 Př.1: Vypočítejte: a) 8! 5!∙3! b) 7!+6!+5! 8!−7! a) 8! 5!∙3! = 8∙7∙6∙5! 5!∙3! = 8∙7∙6 3∙2 =8∙7=56 b) 7!+6!+5! 8!−7! = 5!(7∙6+6+1) 5!(8∙7∙6−7∙6) = 7∙6+7 8∙7∙6−7∙6 = 7∙7 7∙7∙6 = 1 6

Příklad 2 a) 𝑛∙ 𝑛!+ 𝑛−1 ! = Př.2: Vypočítejte: a) 𝑛∙ 𝑛!+(𝑛−1)! b) 𝑛!(𝑛+1)! (𝑛−1)!(𝑛+2)! a) 𝑛∙ 𝑛!+ 𝑛−1 ! =

Příklad 2 a) 𝑛∙ 𝑛!+ 𝑛−1 ! =n∙ 𝑛∙ 𝑛−1 !+ 𝑛−1 ! = = Př.2: Vypočítejte: a) 𝑛∙ 𝑛!+(𝑛−1)! b) 𝑛!(𝑛+1)! (𝑛−1)!(𝑛+2)! a) 𝑛∙ 𝑛!+ 𝑛−1 ! =n∙ 𝑛∙ 𝑛−1 !+ 𝑛−1 ! = =

Příklad 2 a) 𝑛∙ 𝑛!+ 𝑛−1 ! =n∙ 𝑛∙ 𝑛−1 !+ 𝑛−1 ! = =𝑛∙ 𝑛−1 ! 𝑛+1 = Př.2: Vypočítejte: a) 𝑛∙ 𝑛!+(𝑛−1)! b) 𝑛!(𝑛+1)! (𝑛−1)!(𝑛+2)! a) 𝑛∙ 𝑛!+ 𝑛−1 ! =n∙ 𝑛∙ 𝑛−1 !+ 𝑛−1 ! = =𝑛∙ 𝑛−1 ! 𝑛+1 =

Příklad 2 a) 𝑛∙ 𝑛!+ 𝑛−1 ! =n∙ 𝑛∙ 𝑛−1 !+ 𝑛−1 ! = Př.2: Vypočítejte: a) 𝑛∙ 𝑛!+(𝑛−1)! b) 𝑛!(𝑛+1)! (𝑛−1)!(𝑛+2)! a) 𝑛∙ 𝑛!+ 𝑛−1 ! =n∙ 𝑛∙ 𝑛−1 !+ 𝑛−1 ! = =𝑛∙ 𝑛−1 ! 𝑛+1 = 𝑛+1 ∙𝑛∙ 𝑛−1 !=

Příklad 2 a) 𝑛∙ 𝑛!+ 𝑛−1 ! =n∙ 𝑛∙ 𝑛−1 !+ 𝑛−1 ! = Př.2: Vypočítejte: a) 𝑛∙ 𝑛!+(𝑛−1)! b) 𝑛!(𝑛+1)! (𝑛−1)!(𝑛+2)! a) 𝑛∙ 𝑛!+ 𝑛−1 ! =n∙ 𝑛∙ 𝑛−1 !+ 𝑛−1 ! = =𝑛∙ 𝑛−1 ! 𝑛+1 = 𝑛+1 ∙𝑛∙ 𝑛−1 != 𝑛+1 !

Příklad 2 a) 𝑛∙ 𝑛!+ 𝑛−1 ! =n∙ 𝑛∙ 𝑛−1 !+ 𝑛−1 ! = Př.2: Vypočítejte: a) 𝑛∙ 𝑛!+(𝑛−1)! b) 𝑛!(𝑛+1)! (𝑛−1)!(𝑛+2)! a) 𝑛∙ 𝑛!+ 𝑛−1 ! =n∙ 𝑛∙ 𝑛−1 !+ 𝑛−1 ! = =𝑛∙ 𝑛−1 ! 𝑛+1 = 𝑛+1 ∙𝑛∙ 𝑛−1 != 𝑛+1 ! b) 𝑛!(𝑛+1)! (𝑛−1)!(𝑛+2)! =

b) 𝑛!(𝑛+1)! (𝑛−1)!(𝑛+2)! = 𝑛∙(𝑛−1)!∙(𝑛+1)! (𝑛−1)!∙(𝑛+2)∙(𝑛+1)! = Příklad 2 Př.2: Vypočítejte: a) 𝑛∙ 𝑛!+(𝑛−1)! b) 𝑛!(𝑛+1)! (𝑛−1)!(𝑛+2)! a) 𝑛∙ 𝑛!+ 𝑛−1 ! =n∙ 𝑛∙ 𝑛−1 !+ 𝑛−1 ! = =𝑛∙ 𝑛−1 ! 𝑛+1 = 𝑛+1 ∙𝑛∙ 𝑛−1 != 𝑛+1 ! b) 𝑛!(𝑛+1)! (𝑛−1)!(𝑛+2)! = 𝑛∙(𝑛−1)!∙(𝑛+1)! (𝑛−1)!∙(𝑛+2)∙(𝑛+1)! =

b) 𝑛!(𝑛+1)! (𝑛−1)!(𝑛+2)! = 𝑛∙(𝑛−1)!∙(𝑛+1)! (𝑛−1)!∙(𝑛+2)∙(𝑛+1)! = 𝑛 𝑛+2 Příklad 2 Př.2: Vypočítejte: a) 𝑛∙ 𝑛!+(𝑛−1)! b) 𝑛!(𝑛+1)! (𝑛−1)!(𝑛+2)! a) 𝑛∙ 𝑛!+ 𝑛−1 ! =n∙ 𝑛∙ 𝑛−1 !+ 𝑛−1 ! = =𝑛∙ 𝑛−1 ! 𝑛+1 = 𝑛+1 ∙𝑛∙ 𝑛−1 != 𝑛+1 ! b) 𝑛!(𝑛+1)! (𝑛−1)!(𝑛+2)! = 𝑛∙(𝑛−1)!∙(𝑛+1)! (𝑛−1)!∙(𝑛+2)∙(𝑛+1)! = 𝑛 𝑛+2

Příklad 3 Př.3: Řešte rovnici s neznámou 𝑛∈ℕ:30𝑛!=(𝑛+2)! 30𝑛!= 𝑛+2 ! Rozepíšeme závorku na pravé straně tak, abychom mohli zkrátit.

Příklad 3 Př.3: Řešte rovnici s neznámou 𝑛∈ℕ:30𝑛!=(𝑛+2)! 30𝑛!= 𝑛+2 ! Rozepíšeme závorku na pravé straně tak, abychom mohli zkrátit. 30𝑛!=(𝑛+2)∙(𝑛+1)∙𝑛! Zkrátíme.

Příklad 3 Př.3: Řešte rovnici s neznámou 𝑛∈ℕ:30𝑛!=(𝑛+2)! 30𝑛!= 𝑛+2 ! Rozepíšeme závorku na pravé straně tak, abychom mohli zkrátit. 30𝑛!=(𝑛+2)∙(𝑛+1)∙𝑛! Zkrátíme. 30=(𝑛+2)∙(𝑛+1) Roznásobíme závorky. 30= 𝑛 2 +3𝑛+2

Příklad 3 Př.3: Řešte rovnici s neznámou 𝑛∈ℕ:30𝑛!=(𝑛+2)! 30𝑛!= 𝑛+2 ! Rozepíšeme závorku na pravé straně tak, abychom mohli zkrátit. 30𝑛!=(𝑛+2)∙(𝑛+1)∙𝑛! Zkrátíme. 30=(𝑛+2)∙(𝑛+1) Roznásobíme závorky. 30= 𝑛 2 +3𝑛+2 Vše převedeme na jednu stranu.

Příklad 3 Př.3: Řešte rovnici s neznámou 𝑛∈ℕ:30𝑛!=(𝑛+2)! 30𝑛!= 𝑛+2 ! Rozepíšeme závorku na pravé straně tak, abychom mohli zkrátit. 30𝑛!=(𝑛+2)∙(𝑛+1)∙𝑛! Zkrátíme. 30=(𝑛+2)∙(𝑛+1) Roznásobíme závorky. 30= 𝑛 2 +3𝑛+2 Vše převedeme na jednu stranu. 𝑛 2 +3𝑛−28=0 Dořešíme kvadratickou rovnici.

Příklad 3 Př.3: Řešte rovnici s neznámou 𝑛∈ℕ:30𝑛!=(𝑛+2)! 30𝑛!= 𝑛+2 ! Rozepíšeme závorku na pravé straně tak, abychom mohli zkrátit. 30𝑛!=(𝑛+2)∙(𝑛+1)∙𝑛! Zkrátíme. 30=(𝑛+2)∙(𝑛+1) Roznásobíme závorky. 30= 𝑛 2 +3𝑛+2 Vše převedeme na jednu stranu. 𝑛 2 +3𝑛−28=0 Dořešíme kvadratickou rovnici. 𝑛 1 =4∧ 𝑛 2 =−7

Příklad 3 Př.3: Řešte rovnici s neznámou 𝑛∈ℕ:30𝑛!=(𝑛+2)! 30𝑛!= 𝑛+2 ! Rozepíšeme závorku na pravé straně tak, abychom mohli zkrátit. 30𝑛!=(𝑛+2)∙(𝑛+1)∙𝑛! Zkrátíme. 30=(𝑛+2)∙(𝑛+1) Roznásobíme závorky. 30= 𝑛 2 +3𝑛+2 Vše převedeme na jednu stranu. 𝑛 2 +3𝑛−28=0 Dořešíme kvadratickou rovnici. 𝑛 1 =4∧ 𝑛 2 =−7 Uvědomíme si, že −7∉ℕ.

Příklad 3 Př.3: Řešte rovnici s neznámou 𝑛∈ℕ:30𝑛!=(𝑛+2)! 30𝑛!= 𝑛+2 ! Rozepíšeme závorku na pravé straně tak, abychom mohli zkrátit. 30𝑛!=(𝑛+2)∙(𝑛+1)∙𝑛! Zkrátíme. 30=(𝑛+2)∙(𝑛+1) Roznásobíme závorky. 30= 𝑛 2 +3𝑛+2 Vše převedeme na jednu stranu. 𝑛 2 +3𝑛−28=0 Dořešíme kvadratickou rovnici. 𝑛 1 =4∧ 𝑛 2 =−7 Uvědomíme si, že −7∉ℕ. Rovnice má tedy jediné řešení a to 𝑛=4.

Zdroj: Sbírka úloh z matematiky – Analytická geometrie, nakl.Prometheus,1996