Vektorová grafika

Vektorové entity Úsečka Kružnice, elipsa, kruhový oblouk,… Složitější křivky, splajny, Bézierovy křivky, … Plochy Tělesa Modely

Rasterizace Regenerace Rasterizace úsečky (například DDA algoritmus)

Vektorizace Ruční Automatická Poloautomatická

Interpolace Křivka prochází přímo zadanými body

Interpolace polynomem Lineární – 2 body Kvadratická – 3 body Polynom n-tého stupně – n+1 bodů

Lineární interpolace

Kvadratická interpolace

Interpolace polynomem 4 stupně Interpolované body: (-2,4) (-1,0) (0,3) (1,1) (2,-5) Rovnice: 16a -8b +4c -2d + e = 4 a - b + c -d +e = -3 e = 3 a + b + c + d +e = 1 16a +8b +4c +2d +e =-5 Řešení: a=0.458 b=-0.75 c=-2.95 d=1.25 e=3 Funkce: 0.458*x^4-0.75*x^3-2.95*x^2+1.25*x+3

Spline křivka Křivka se skládá z úseků vyjádřených polynom nižšího stupně, než odpovídá počtu bodů. Křivky na sebe v hraničních bodech hladce navazují

Lineární „spline“ Polynomy prvního stupně. V hraničních bodech na sebe navazují spojitě. Není zaručena spojitost ani první derivace. Česky se tomu říká lomená čára

Kvadratický spline Křivka jsou úseky parabol. V hraničních bodech na sebe paraboly hladce navazují – mají spojitou první derivaci. Další derivace nemusí být (a obvykle nejsou) spojité. Je nejpoužívanější, pokud se řekne jen spline, myslí se obvykle kvadratický spline (viz AutoCAD)

Kvadratický spline

Spline křivky vyšších stupňů Kubický – funkce po částech 3-tího stupně (kubika), zaručuje spojitost první a druhé derivace Obecný (n-tého stupně), zaručuje spojitost (n-1). derivace.

Aproximační křivky Nemusí procházet přímo zadanými body. Formálně lze za aproximační křivku považovat libovolnou křivku. Problém je nalézt takové vyjádření, které bude Jednoduché Bude dostatečně dobře aproximovat danou křivku

Aproximace metodou nejmenších čtverců Zvolím typ funkce (obvykle polynom nižšího stupně, než by byl potřeba pro interpolaci bodů). Vypočítám takové parametry, aby součet čtverců odchylek v zadaných bodech byl minimální. ∑(yi-f(xi))2→ min

Metoda nejmenších čtverců

Bézierova aproximace (Bézierova křivka) Aproximace polynomem daného stupně n-tý stupeň pro n+1 bodů P0,P1,…,Pn Křivka prochází krajními body P0 a Pn Tečna v počátečním bodě P0 je rovnoběžná s vektorem P0P1. Tečna v koncovém bodě Pn je rovnoběžná s vektorem Pn-1 Pn Celá křivka leží v konvexním obalu bodů P0, … ,Pn

Pierre Ettiene Bézier (1910-1999)

Vyjádření Bézierovy křivky

Lineární Bézierova křivka B(t) = (1-t).P0 + t.P1 Parametrická rovnice úsečky

Kvadratická Bézierova křivka B(t) = (1-t)2P0 + 2t(1-t)P1 + t2P2

Kubická Bézierova křivka B(t) = (1-t)3P0 + 3t(1-t)2P1 + 3t2(1-t)P2 + t3P3

Bézierovy křivky vyšších řádů Příklad vzorce pro křivku 5.stupně

Třírozměrné modelování

Modelování a zobrazování Obraz(y) modelu model Realita (skutečnost) modelování Zobrazování (vizualizace)

3D modelování Rastrové (voxelové) Vektorové

Voxelové modelování 0 = není v tělese 1 = je v tělese

Vektorové modelování B-reprezentace Primitivní tělesa 2 ½ D modelování CSG modelování

B reprezentace (hraniční, boundary)

Modelování z primitivních těles Kvádr Zadat dva protilehlé vrcholy Nebo Zadat dva protilehlé vrcholy podstavy a výšku

Primitivní tělesa v AutoCADu Kvádr Koule Válec Kužel Klín Torus ….

2 ½ D modelování Modelování 3D těles pomocí transformací z 2D objektů Posunutí (vysunutí, extrude) Rotace (rotate, revolve) …… např posunutí podle křivky

Vysunutí Obdélník → Kvádr Kruh → Válec

Otočení Obdélník → Válec Trojúhelník → Kužel Kruh → Koule

Computer Solid Geometry (CSG) modelování Množinové operace Sjednocení Průnik Rozdíl CSG strom

CSG strom

CSG strom subtract{ union{ box{[0,0,0][4,4,1]} cylinder{[4,2,0],[4,2,1],1} } cylinder{[3,3,0][3,3,5],0.5}