Rovnice a nerovnice Lineární nerovnice Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0116 Mgr. Jakub Němec

Lineární nerovnice V minulých lekcích jsme si vysvětlili, co znamená pojem lineární rovnice. Lineární nerovnice vypadá podobně, jen místo znaménka pro rovnost (=) budeme používat znaménka nerovnosti <, ≤, >, ≥. Lineární nerovnice lze zapsat ve tvarech: 𝑎𝑥+ 𝑏<0, 𝑎𝑥+𝑏≤0, 𝑎𝑥+𝑏>0, 𝑎𝑥+𝑏≥0, kde 𝑎 je lineární člen, pro který platí, že 𝑎∈ℝ− 0 , a kde 𝑏 je absolutní člen, pro který platí 𝑏∈ℝ. Nerovnice lze také upravovat pomocí ekvivalentních úprav, které si představíme na dalších snímcích.

Ekvivalentní úpravy nerovnic 1) Přičtení stejného čísla k oběma stranám nerovnice 2) Přičtení stejného násobku neznámé k oběma stranám nerovnice 𝑥+3>7/−3 4𝑥<5+3𝑥/−3𝑥 𝑥+3−3>7−3 4𝑥−3𝑥<5+3𝑥−3𝑥 𝑥>4 𝑥<5 Mezi základní ekvivalentní úpravy samozřejmě patří také úpravy výrazů na obou stranách rovnice.

Ekvivalentní úpravy nerovnic 3) Vynásobení obou stran nerovnice NENULOVÝM číslem s tím, že v případě násobení záporným číslem se obrací nerovnost 4) Výměna obou stran nerovnice s tím, že se obrací nerovnost −5𝑥≥20/∙ − 1 5 3𝑥<9/∙ 1 3 8<𝑥 𝑥<3 𝑥≤−4 𝑥>8 Vhodnou kombinací ekvivalentních úprav lze vždy určit množinu kořenů lineární nerovnice.

Počet řešení lineárních nerovnic Podobně jako u lineárních rovnic může při řešení lineárních nerovnic nastat několik situací, na jejichž základě určujeme počet řešení. V případě, že 𝑏∈ℝ a 𝑎∈ℝ− 0 , potom pro 𝑎𝑥+𝑏<0 platí, že nerovnice má množinu řešení závislou na absolutním a lineárním koeficientu, tedy: 𝑎∈ ℝ + , poté 𝒙<− 𝒃 𝒂 𝑎∈ ℝ − , poté 𝒙>− 𝒃 𝒂 V případě, že 𝑏∈ℝ a 𝑎=0, potom pro 𝑎𝑥+𝑏<0 platí: 𝑏<0, poté má nerovnice nekonečně mnoho řešení 𝑏≥0, poté nerovnice nemá řešení Pro případy ostatních nerovnic ≤, >, ≥ platí obdobné úvahy. Lépe je poznáte na příkladech.

Zápis řešení nerovnice Výsledek nerovnice, kde 𝑥∈ℝ, lze zapsat několika způsoby, nejčastější jsou tyto tři: a) nerovností b) intervalem c) graficky 3𝑥−5≥4+2𝑥 𝑥≥9 𝒂) 𝒙≥𝟗 𝒃)<𝟗;∞) 𝒄)

Zápis řešení nerovnice Výsledek nerovnice, který má neznámou 𝑥 v jiném oboru než v ℝ (např. ℕ, ℤ, ℚ), zapisujeme výsledek: a) množinou b) graficky 3𝑥−5≤2𝑥−2 𝑥∈ℕ 𝑥≤3 𝒂) 𝑲= 𝟏; 𝟐; 𝟑 𝒃)

− 1 15 + 𝑥−3 5 − 1 3 ≤ 1 2 + 2𝑥−5 10 +3∙ 𝑥−1 −1/∙30 Řešte danou nerovnici pro: a) 𝒙∈ℝ a výsledek zapište nerovností, intervalem a znázorněte jej graficky, b) 𝑥∈ℤ a výsledek zapište pomocí množiny a znázorněte jej graficky. Nejdříve musíme upravit rovnici na co nejjednodušší tvar. Poté již můžeme přistoupit k jednotlivým zápisům řešení. −2+6∙ 𝑥−3 −10≤15+3∙ 2𝑥−5 +90∙ 𝑥−1 −30 −2+6𝑥−18−10≤15+6𝑥−15+90𝑥−90−30 −90𝑥≤−90/:(−90) 𝑥≥1 𝑎) 𝑏) 𝒙≥𝟏 𝑲= 𝟏;𝟐;𝟑;𝟒;… 𝒙∈<𝟏;∞)

Úkol závěrem 1) Řešte nerovnici pro 𝑥∈ℝ a výsledek zapište pomocí nerovnosti, intervalu a znázorněte jej graficky: a) 3𝑥−7∙ 2𝑥−5 ≤5∙ 3−2𝑥 +8 b) 𝑥+9 2 −3> 13 5 +2∙ 𝑥−3 c) 6+3𝑥≥1+5∙ 3𝑥 5 −2 2) Řešte nerovnici pro 𝑥∈ℕ a výsledek zapište pomocí množiny kořenů a znázorněte jej graficky:

Zdroje Literatura: CHARVÁT, Jura; ZHOUF, Jaroslav; BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia: Rovnice a nerovnice. 4. vydání. Praha: Prometheus, 2010, 223 s. ISBN 987-80-7196-362-2.