Kružnice Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY 1

Kružnice jako kuželosečka Kružnici jako kuželosečku tvoří průnik kuželové plochy a roviny kolmé na osu kuželové plochy.

Kružnice jako množina bodů Kružnici lze definovat i jako množinu bodů v rovině: Kružnice je množina všech bodů, které mají od daného bodu (středu) stejnou vzdálenost (poloměr). Pro libovolný bod X[x;y] na kružnici se středem v počátku souřadnic platí dle Pythagorovy věty následující (viz obrázek): x2 + y2 = r2 Tento vztah se nazývá základní rovnice kružnice. X[x;y] S[0;0] x y r

Kružnice jako množina bodů Pro libovolný bod X[x;y] na kružnici se středem v bodě S[m;n] platí dle Pythagorovy věty následující (viz obrázek): (x – m)2 + (y – n)2 = r2 Protože je z rovnice patrný poloměr i souřadnice středu, nazývá se tato rovnice středovou rovnicí kružnice. y y X[x;y] r y – n S[m;n] n × x – m m x x

Kružnice jako množina bodů Odstraňme závorky ze středového tvaru rovnice kružnice a převeďme všechny členy na levou stranu: (x – m)2 + (y – n)2 = r2 x2 – 2mx + m2 + y2 – 2ny + n2 – r2 = 0 x2 + y2 – 2mx – 2ny + m2 + n2 – r2 = 0 Nahrazením –2m = A, –2n = B a m2 + n2 – r2 = C lze rovnici zapsat jako x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Tato rovnice ze nazývá obecná rovnice kružnice. Poznámka: Ne vždy tato rovnice vyjadřuje rovnici kružnice. V některých připadech totiž koeficient C může způsobit zápornou hodnotu na pravé straně středové rovnice (r2 < 0), což u kružnice nelze.

Parametrické vyjádření přímky Obdobně jako má přímka v rovině parametrické vyjádření, má toto vyjádření i kružnice: x = r · cos t + m y = r · sin t + n kde t je parametr vyjadřující úhel (viz obrázek), který může nabývat hodnot z intervalu <0;2π). y y X[x;y] r t S[m;n] n × m x x

Převod obecné rovnice na středovou Při odvozování obecné rovnice ze středové byl písmenem A nahrazen výraz –2m. Z toho plyne, že m = –A/2 a obdobně n = –B/2. Příklad: Je dána obecná rovnice kružnice x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0. Určete střed a poloměr této kružnice. A = –4, tedy m = 2, B = 8, tedy n = –4. Středová rovnice kružnice tedy bude: (x – 2)2 + (y – (–4))2 – 5 = 4 + 16 Vysvětlení k pravé straně: výraz (x – 2)2 = x2 – 4x + 4 se nerovná výrazu x2– 4x, který byl v obecné rovnici, je o 4 větší. Jelikož jsme si tuto hodnotu přidali na levé straně rovnice, musíme ji přidat i na pravé straně. Obdobně výraz (y – (–4))2 = (y + 4)2 = y2 + 8y + 16 je větší o 16. (x – 2)2 + (y + 4)2 = 4 + 16 + 5 (x – 2)2 + (y + 4)2 = 25 Střed kružnice má tedy souřadnice [2;–4] a poloměr je √25 = 5.

Vzájemná poloha přímky a kružnice Přímka může ležet mimo kružnici (přímka p1), potom s ní nemá žádný společný bod. Takové přímce se říká nesečna. x0 y0 T[x0;y0] p3 Pokud se přímka kružnice dotýká (přímka p3), má s ní jeden společný bod. Takové přímce se říká tečna. Rovnice tečny, která se kružnice dotýká v bodě T[x0;y0], je: (x – m)(x0 – m) + (y – n)(y0 – n) = r2 y p2 Pokud přímka kružnici protíná (přímka p2), má s ní dva společné body. Takové přímce se říká sečna. r S n × m x