Aritmetická posloupnost Kristýna Zemková, Václav Zemek Gymnázium Prachatice, Zlatá stezka 137 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Václav Zemek. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Co je to posloupnost? Posloupností nazýváme funkci, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel (u nekonečné posloupnosti) nebo její podmnožina ({1; 2; 3; …; k}, k je přirozené číslo, u konečné posloupnosti).

Zápis posloupnosti Výčtem členů Vzorcem pro n-tý člen Rekurentně nebo , nebo , Pozor! U rekurentního určení musí být zadána hodnota alespoň jednoho členu!

Příklad: Radek si kreslil do sešitu soustředné kružnice. První měla poloměr 1 cm, poloměr každé další kružnice byl o 2 cm větší. Určete poloměr páté kružnice, kterou Radek takto narýsoval. Řešení

První kružnice má dle zadání poloměr 1 cm. Poloměr druhé kružnice je 1 + 2 = 3 cm. Třetí 3 + 2 = 5 cm. Čtvrté 5 + 2 = 7 cm. Páté 7 + 2 = 9 cm. Zadání

Zkuste zapsat poloměr rn+1 (n+1) kružnice z předchozího příkladu pomocí poloměru n-té kružnice. Tímto jsme získali rekurentní zápis aritmetické posloupnosti.

Aritmetická posloupnost Posloupnost se nazývá aritmetická, právě když existuje takové reálné číslo d, že pro každé celé kladné číslo n platí: Číslo d se nazývá diference. Jak vypočítáme diferenci? Diference je rovna rozdílu dvou po sobě jdoucích členů. Je konstantní, nezávislá na n.

Příklad: U každé ze zadaných posloupností určete, zda jde o aritmetickou posloupnost a pokud ano, tuto posloupnost zapište rekurentně. Řešení Řešení Řešení Řešení

Příklad: Radek si kreslil do sešitu soustředné kružnice. První měla poloměr 1 cm, poloměr každé další kružnice byl o 2 cm větší. Určete poloměr n-té kružnice pomocí poloměru první kružnice a rozdílu poloměrů sousedních kružnic. Řešení

Poloměr první kružnice r1= 1 cm. Poloměr dvou sousedních kružnic se liší o 2 cm. Poloměr n-té kružnice tedy vypočítáme tak, že k poloměru první kružnice (n-1) krát přičteme dvojku: Získali jsme tak zápis aritmetické posloupnosti vzorcem pro n-tý člen! Zadání

Zápis vzorcem pro n-tý člen Zobecněním zápisu z předchozího příkladu dostaneme:

Odvození vzorce pro n-tý člen Z definice posloupnosti víme, že Zapíšeme (n-1) rovností: Tyto rovnosti sečteme a upravíme:

Důkaz matematickou indukcí Dokážeme, že platí pro n = 1 Zvolme libovolné přirozené číslo k a předpokládejme, že výraz pro něj platí: Dokažme, že potom platí také pro každé další k, když z definice víme, že ak+1=ak+d Tímto je důkaz hotov.

Příklad: Určete v pořadí sté liché číslo dělitelné třemi. Postup Řešení

Jaké je nejmenší liché přirozené číslo dělitelné třemi? Jaký je rozdíl mezi dvěma sousedními lichými čísly dělitelnými třemi? Zapište vzorec pro n-té číslo: Sté liché číslo dělitelné třemi: Zadání

Příklad: Výsledek Určete součet s11 prvních 11 lichých čísel. Zadání zapíšeme jako posloupnost: Vypíšeme si prvních 11 lichých čísel a pod ně znovu, tentokrát v obráceném pořadí: Sečteme:

Víme, že: Součet s11 pak můžeme obecně zapsat: Po dosazení získáme:

Součet prvních n členů V předchozím příkladu jsme se dostali ke vztahu: Dokázali byste jej zobecnit? Pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti platí:

Odvození Zapíšeme součet sn prvních n členů aritmetické posloupnosti. Pod něj tento součet napíšeme ještě jednou, ale v obráceném pořadí: Sečteme a upravíme:

Důkaz matematickou indukcí Dokážeme, že platí pro n = 1 Zvolme libovolné přirozené číslo k a předpokládejme, že výraz pro něj platí: Dokažme, že potom platí také pro každé další k, když víme, že ak+1=a1+kd ,

Příklad: Vypočítejte součet všech kladných dvouciferných čísel dělitelných třemi. Postup Řešení

Nejmenší dvouciferné číslo dělitelné třemi: Vzorec pro n-tý člen: Nejvyšší dvouciferný člen: Výsledný součet: Zadání

Shrnutí Aritmetická posloupnost je rekurentně určena: n-tý člen je dán vztahem: Pro součet prvních n členů platí:

Literatura ODVÁRKO, O., BOŽEK, M., RYŠÁNKOVÁ, M., SMIDA, J. Matematika pro II. Ročník gymnázií. 1. vydání. Praha : SPN, 1985. ISBN 14-499-85. SMIDA, J., BOŽEK, M., ODVÁRKO, O. Sbírka úloh z matematiky pro II. Ročník gymnázií. 1. vydání. Praha : SPN, 1986. ISBN 14-629-86. ŘÍDKÁ, E., BLAHUNKOVÁ, D., CHÁRA, P. Maturitní otázky – Matematika. 1. vydání. Praha : Fragment, 2007. ISBN 978-80-253-0497-6. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Václav Zemek. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.