Rozklad mnohočlenu na součin VY_32_INOVACE_2.07.M.8 Rozklad mnohočlenu na součin Ročník: 8. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Tematický okruh:  Číslo a proměnná Téma: Výrazy Jméno autora: Mgr. Karel Hradil Vytvořeno dne: Metodický popis, (anotace): Žák pochopí pravidla a postupy při rozkladu mnohočlenů a na příkladech si samostatně procvičí rozklad mnohočlenů vytýkáním před závorku.  

Rozklad mnohočlenu na součin Rozklad mnohočlenu na součin dvou činitelů (výrazů) můžeme provést dvěma způsoby: 1. vytýkáním před závorku 2. pomocí vzorce ROZKLAD NA SOUČIN VYTÝKÁNÍM před závorku Při rozkladu užijeme tyto znalosti: 1. Každý součin se skládá z členů, kterým říkáme činitelé. Př. a · b 3 · m4 · n činitel činitel činitel činitel činitel 2. Člena mnohočlenu tvoří jednotlivá čísla nebo jednotlivé proměnné nebo součin čísel a proměnných. Př. 5 + a 7 – x + mn – 4a – 5 r2s3 jednotlivé číslo jednotlivé číslo jednotlivá proměnná jednotlivá proměnná součin čísla a proměnné součin čísla a proměnných součin proměnných

ax + ay = a·(x + y) ra + rb – rc = r·(a + b – c) 2x – 3xy = x·(2 – 3y) Rozklad mnohočlenu na součin vytýkáním před závorku provedeme tak, že ze všech členů vybereme všechny stejné činitele, napíšeme je před závorku a do závorky napíšeme mnohočlen ze členů, které nám zůstaly (nebyly vybrány). Příklady: ax + ay = ra + rb – rc = 2x – 3xy = 4ab + 4c = amn – bmn = 7rx + 7ry = uvc –uvd – uve = pilky + louky – kila = a·(x + y) r·(a + b – c) x·(2 – 3y) 4·(ab + c) mn(a – b) 7r(x + y) uv(c – d – e) kl(piy + ouy – ia)

3. Každá mocnina je zkráceným zápisem součinu stejných činitelů. Př. x3 = x·x·x a5 = a·a·a·a·a x2 + 3x = 5ab + 4a3c – 7a5d = x(x + 3) a(5b + 4a2c – 7a4d) Příklady: 4x2 – 2x3y + x4 = 6r7s4 + 5r3s6 = – 11a3b5c6 – 9a2b4c7 + 4a5b3c2 = x2(4 – 2xy + x2) r3s4(6r4 + 5s2) a2b3c2(– 11ab2c4 – 9bc5 + 4a3) 4. Složené číslo lze zapsat jako součin činitelů. Př. 12 = 3·4 15 = 3·5 48 = 6·8 Každý činitel je zároveň dělitelem zadaného čísla. Příklady: 6 + 8x = 15a2 – 12a = 25r3s5 – 30r2s7 + 20r4s = 2(3 + 4x) 3a(5a – 4) 5r2s(5rs4 – 6s6 + 4r2) Pozn.: Při vytýkání se snažíme vytknout takového činitele, který je největším společným dělitelem členů mnohočlenu.

5. Činitelem součinu může být i závorka s mnohočlenem 5. Činitelem součinu může být i závorka s mnohočlenem. Proto můžeme vytýkat i celé závorky se stejnými mnohočleny. Př. 4·x·y3·(5 + a) činitel číslo činitel proměnná činitel mocnina činitel závorka 2x(a – 3) + 5y(a – 3) = 7m3(5 + 3n) – 3m2(5 + 3n) = 10r(4 – s) – 5r2(4 – s) = (a – 3)(2x + 5y) m2(5 + 3n)(7m – 3) 5r(4 – s)(2 – r) Příklady: (x – 1)2 + 3(x – 1) = 8a(3 + m)2 – (3 + m)10a2 = (x – 1)(x – 1) + 3 = (x – 1)x – 1 + 3 = (x – 1)(x + 2) 2a(3 + m)4(3 + m) – 5a = 2a(3 + m)(12 + 4m – 5a) Pozn.: 1. Výsledkem rozkladu mnohočlenu vytýkáním musí být součin činitelů. 2. Je-li činitelem závorka, musí být jen jednoduchá (kulatá) a mnohočlen uvnitř závorky již nelze rozložit.

6. Znaménko před číslem (proměnnou) může mít dvojí funkci – znaménko čísla nebo znak početní operace. Potom můžeme zápis záporného čísla (proměnné) upravit vložením závorky. Př. – 8 = – (+ 8) – a = – (+ a) 7. Vynechání čísla 1 v zápisu součinu. Př. 1·3 = 3 1·m = m – 1·3 = – 3 – 1·m = – m Těchto znalostí užíváme při vytýkání čísla –1, kterému někdy říkáme vytýkání znaménka mínus. Příklady: 4 – x = – r + 2 = 9a + 5b = – 3e – 4f = – (– 4 + x) – (r – 2) – (– 9a – 5b) – (3e + 4f) – 7c – 5d + 4e – 8f = – 6x2 + 8x = 25r3s5 – 30r2s7 + 20r4s = – (7c + 5d – 4e + 8f) – 2x(3x – 4) – 5r2s(–5rs4 + 6s6 – 4r2)