CZECH SALES ACADEMY Hradec Králové – VOŠ a SOŠ s.r.o. Hradecká 1151, 500 03 Hradec Králové Funkce - vlastnosti Hradec Králové 14.9.2012

Tento učební materiál vznikl za podpory OPVK 1.5 Název školy CZECH SALES ACADEMY Hradec Králové – VOŠ a SOŠ s.r.o. Číslo projektu CZ 1.07/1.5.00/34.0314 Název projektu Moderní škola Číslo DUM CSA_OPVK15_101 Předmět Matematika Tematický celek Funkce Název materiálu Vlastnosti funkcí Autor Mgr. Dominika Vítová Datum ověření, třída 14.9.2012, 2.A Časová dotace 45 min. Pomůcky Projektor, tabule na psaní příkladů Vzdělávací cíl Seznámení s vlastnostmi funkcí pro následující aplikaci u konkrétních typů funkcí.

Definice funkce Reálnou funkcí jedné reálné proměnné je každá množina U uspořádaných dvojic [x,y] reálných čísel, pro niž platí: ke každému x z R existuje nejvýše jedno y z R, pro které [x,y] náleží do U.

Definiční obor Předpokládejme, že je dána funkce f: Množinu všech x z R, k nimž existuje y z R takové, že [x,y] náleží f, nazýváme definiční obor funkce f. Značíme D(f) nebo Df.

Obor hodnot Množinu všech y z R, k nimž existuje x z R takové, že [x,y] náleží f, nazýváme obor hodnot funkce f. Značíme H(f) nebo Hf. Místo [x,y] náleží f užíváme zápis y = f(x)

Rostoucí funkce Nechť f je funkce, M podmnožina jejího definičního oboru Funkci f nazveme rostoucí v množině M, právě když pro každé dva prvky x1 , x2 z M platí: je-li x1 < x2 , potom f(x1) < f(x2) Př. přirozený logaritmus

Klesající funkce Nechť f je funkce, M podmnožina jejího definičního oboru Funkci f nazveme klesající v množině M, právě když pro každé dva prvky x1 , x2 z M platí: je-li x1 < x2 , potom f(x1) > f(x2) Př. kotangens

Omezenost Nechť f je funkce, M podmnožina jejího definičního oboru Funkce f se nazývá zdola omezená v množině M, právě když existuje číslo d takové, že pro všechna x z M je f(x) ≥ d. Funkce f se nazývá shora omezená v množině M, právě když existuje číslo h takové, že pro všechna x z M je f(x) ≤ h.

Extrémy Nechť f je funkce, M podmnožina jejího definičního oboru, a náleží M, b náleží M Funkce f má v bodě a maximum na množině M, právě když pro všechna x z M je f(x) ≤ f(a) ostré maximum pro f(x) < f(a) Funkce f má v bodě b minimum na množině M, právě když pro všechna x z M je f(x) ≥ f(b) ostré minimum pro f(x) > f(b)

Sudá funkce Př.Kvadratická funkce y = x2 Funkce f se nazývá sudá, právě když zároveň platí: Pro každé x z D(f) je také -x z D(f) Pro každé x z D(f) je f(-x) = f(x) Graf sudé funkce je osově souměrný podle osy y

Lichá funkce Funkce f se nazývá lichá, právě když zároveň platí: Pro každé x z D(f) je také -x z D(f) Pro každé x z D(f) je f(-x) = -f(x) Graf liché funkce je středově souměrný podle počátku kartézské soustavy souřadnic Př. lineární funkce y = x

Prostá funkce je prostá není prostá Funkce f se nazývá prostá, právě když pro všechna x1 , x2 z D(f) platí: je-li x1≠ x2 , potom f(x1) ≠ f(x2) Je-li funkce rostoucí nebo klesající, pak je prostá.

Použité zdroje Kubešová, N. (2006): Matematika – přehled středoškolského učiva. Edice Maturita, Třebíč, 240 s. Grafy převzaty z: Vlastnosti funkce. Matematika polopatě [online]. 2006—2012 [cit. 2012-07-12]. Dostupné z: http://www.matweb.cz/funkce.